Смешанное произведение компланарных векторов

Если векторы компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю:

.

Смешанное произведение векторов в координатах

Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический:

Смешанное произведение векторов.

.

заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой:

Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса — это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. А по свойству определителя, при перестановке двух строк он меняет знак. Таким образом, при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы — слева направо, и тоже в строгом порядке

Значение определителя от этого не изменится.

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то Пример 11.

Даны векторы.

.

Вычислить:

• а) смешанное произведение векторов;
• б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;
• в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение:

а) По формуле смешанного произведения:

• (Определитель раскрыт по первому столбцу)
• б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах, равен модулю смешанного произведения данных векторов:
• в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ:

В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень.

На практике, по моей субъективной оценке, в 95−99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды:

Пример 12.

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины.

Решение: Чайникам рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий.

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды :

Ответ:

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника.

Объём тетраэдра — хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же:

Пример 13.

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки .