Масса системы. 
Центра масс

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек системы:

.

где M — масса системы, — масса точки с координатами .

Преобразуем формулs (42) из § 18, определяющие координаты центра тяжести тела к виду, явно содержащую массу. Для этого положим в этих формулах и, после чего, сократив на g, получим:

,. (1).

Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определить его радиусом-вектором, то из равенства (1) для получается формула:

где — радиусы-векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положение центра масс и центра тяжести совпадают.

Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

Моментом инерции тела (системы) относительно оси Oz называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

. (3).

Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси,. Единицей измерения момента инерции будет 1 кг•м².

Моменты инерции относительно осей Оxyz определяются формулами:

,. (4).

Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина, определяемая равенством.

где М — масса тела. Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции тела.

В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (3), обратится в интеграл.

В результате, учитывая, что.

.

где — плотность, V — объем, получим:

или. (6).

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий стержень длиной? и массой m. Вычислим его момент инерции относительно оси Az, перпендикулярной стержню. При этом h = x,, где — масса единицы длины стержня. В результате по формуле (6) найдем:

.

Заменяя его значением, окончательно найдем.

. (7).

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси Сz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 85). Так как, то по формуле (3) найдем.

окончательно для кольца.

. (8).

Такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М.

Вычислим момент инерции относительно оси Сz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (рис. 85). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr (рис. 86, а). Площадь этого кольца, а масса dm = 2•2•r•dr, где — масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (8) для выделенного элемента кольца будет, а для всей пластины:

.

Заменяя его значением, найдем окончательно.

. (9).

Такая же формула получится и для момента инерции однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси (рис. 86, б).

• 4. Прямоугольная пластина, конус, шар. Приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел:
  • а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами АВ = а и BD = b (ость х направлена вдоль стороны АВ, ось y — вдоль BD):

a2/3 ;

б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось z направлена вдоль оси конуса):

;

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось z направлена вдоль диаметра):

.

Моменты инерции неоднородных тел определяют экспериментально.

Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса

Моменты инерции тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно другой оси, ей параллельной.

Теорема Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Проведем через центр масс С тела оси C, а через любую точку О на оси C — оси Oxyz, такие, что Oy || C, Oz || C. Расстояние между осями C и Oz обозначим через d. Тогда по формулам (4) будет:

.

Как видно из рисунка.

и, а .

Подставляя значение в выражение для JOz и вынося общие множители d2 и 2d за скобки, получим:

.

В правой части равенства первая сумма равна, а вторая — массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формулы (1). Так как точка С является началом координат, то = 0 и. Окончательно получаем:

. (10).

Теорема доказана.