Системы, изолированные по агрегатам

Рассмотрим системы, которые не обмениваются с окружением потоком агрегатов. Процессы в таких системах протекают с изменением состояния среды и агрегатов на интервале [О, Т].

Модель системы. Обозначим через х и у векторы состояния агрегата и среды соответственно. Эволюция состояния агрегата определяется уравнением кинетики, в котором начальное состояние каждого из агрегатов является случайной величиной с плотностью распределения вероятностей Р (у):

Здесь t — время пребывания агрегата в системе. Таким образом, состояние x (t, у) случайно для любого момента t.

Состояние среды в каждый момент времени изменяется в соответствии с уравнением.

Если система содержит управляющие воздействия u (t), то они входят только в правые части уравнений (5.161). Эти уравнения примут форму.

где множество V_u допустимых управлений определено ограничениями, наложенными на них в каждый момент времени на интервале управления, А = [0, Т]. Первое слагаемое в правой части (5.162) характеризует кинетику взаимодействия с агрегатами, а второе — внешние воздействия на состояние среды. Здесь интеграл берется по области определения плотности распределения Р (у).

Ниже будем предполагать, чтох (0 е С¹ (A, Rⁿ), y (t) е С¹ (A, R^m), u (t) е е С (А, R^r), У_и — компакт, функция/: Rⁿ —> Rⁿ непрерывно дифференцируема по х, а ф: Rⁿ х R^m —> R^m — по х и у.

Задачи управления и условия оптимальности. Запишем критерий оптимальности как.

К такой форме может быть приведен широкий класс критериев оптимальности введением соответствующих переменных.

Необходимые условия оптимальности задачи (5.162), (5.163) вытекают как следствие из рассмотренного в гл. 4 принципа максимума для канонической формы вариационной задачи со скалярным аргументом.

Пусть (х*(?, у), у* (у), zi*(0) — оптимальное решение, тогда найдутся множители Х₀, ^(t) е С¹ (5, R^т) и |/(у, t) е С¹ (8, Rⁿ), не равные нулю одновременно (множитель Х₀ равен нулю или единице), такие что для функции Лагранжа

выполнены условия:

• а) стационарности по x (t, у) Vy и по y (t),
• б) оптимальности по u (t).

Формально.

Для сокращения записи введем обозначение.

и с учетом выражения (5.164) для невырожденного решения (А,₀ = 1) перепишем условия (5.165), (5.166) в форме.

Здесь.

Системы, открытые по агрегатам. Стационарный режим.

В открытой системе происходит обмен с окружением не только потоками, влияющими на состояние среды, но и потоками агрегатов. Мы будем рассматривать стационарный режим только таких систем, в которых состояние среды и распределения случайных величин, влияющих на состояние агрегатов, не зависят от календарного времени.

Математическая модель. В статическом режиме состояние среды у постоянно и равно состоянию на выходе из системы, так как среда однородна. Состояние агрегата изменяется с его возрастом т (временем, прошедшим от попадания агрегата в систему до текущего момента времени) так, что.

В ряде случаев удается получить решение уравнений (5.173) в форме.

что позволяет существенно упростить задачу оптимизации системы. Решение (5.174) называют кинетической кривой.

Возраст агрегата — случайная величина. Будем предполагать, что он не зависит от вектора у, а его плотность распределения обозначим как Р^т). Другим случайным параметром агрегата является время пребывания в системе Хр его иногда называют временем жизни агрегата. Время пребывания случайно, его плотность распределения обозначим через P_f(jj). Плотности распределения возраста и времени пребывания связаны друг с другом^[1] следующим образом:

где.

— среднее время пребывания агрегатов, равное отношению их объема к расходу.

Состояние среды определяется усредненными условиями вида.

где и — вектор управляющих воздействий, а черта означает усреднение по т, у в соответствии с плотностями распределения Р_г(т) и Р₂(у). В ЧаСТ;

^Т ности, правая часть равенства (5.176) может быть равна — (у-Уо)" ^гД^е

V — объем системы; g — расход среды, являющийся одним из управлений.

Размерность вектор-функции ф совпадает с размерностью вектора у, функции/и ф непрерывные и непрерывно дифференцируемые по совокупности своих аргументов, как и функция, определяющая критерий оптимальности:

В число управлений могут входить и параметры, определяющие форму функций распределения возраста и времени пребывания агрегатов.

Оптимизация статического режима систем с сегрегацией.

Необходимые условия оптимальности статического режима сегрегированной системы следуют из условии принципа максимума для вариационной задачи со скалярным аргументом: пусть (х*(у, т), у*), и*) — оптимальное решение, тогда найдутся множители Х0, и j/(y, т) е С1, не равные нулю одновременно (множитель Х0 равен нулю или единице), такие что для функционала Лагранжа.

выполнены условия:

• а) стационарности по х (т, у) Vy и по у
• б) локальной неулучшаемости по u (t).

Формально необходимые условия оптимальности запишутся следующим образом:

где 5н — допустимая вариация управлений с учетом наложенных на них ограничений не V_u.

Для функционала S, имеющего форму (5.178), условия (5.179) примут вид.

Эти условия совместно с уравнениями (5.173) и усредненными условиями (5.176) определяют векторы и, у, X, функции х (у, т) и |/(у, т).

Условия оптимальности существенно упрощаются, если удается получить кинетическую кривую х (у, т, у). В этом случае задача приводится к виду.

Здесь усреднение производится по т, но для функции ф₀ — с распределением Pf времени пребывания агрегатов, а для функции ф — с распределением Р_г возраста агрегатов.

Задача (5.183), (5.184) представляет собой задачу нелинейного программирования. Необходимые условия оптимальности ее решения для непрерывно дифференцируемых по у, и функций ф₀ и ф сводятся к тому, что найдется такой ненулевой вектор А, = (А₀, А_1? …), для которого на оптимальном решении функция Лагранжа S = А₀1 + AJ стационарна по у и локально неулучшаема по и е V_u:

Пример 5.11. Оптимальный выбор среднего времени пребывания агрегатов в системе.

Пусть система однородна как по среде, так и по агрегатам. Кинетическая кривая.

плотности распределения.

Критерий оптимальности.

V.

Выбору подлежит среднее время 0 = — пребывания агрегатов в системе.

g

Условия оптимальности (5.185), (5.186) для невырожденного решения после очевидных выкладок примут форму уравнений.

которые совместно с условием (5.190) определяют А, у и т.

• [1] Цирлин А. М. Математические модели и оптимальные процессы в макросистемах.М.: Наука, 2006.