Метод контурных токов

Как уже отмечалось в подразделе 3.4, метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для независимых контуров, где — общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные направления комплексных амплитуд кольцевых контурных токов , — номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит уравнений для комплексных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 6.3 при тех же исходных данных. В ней имеется ветви и узлов. Схема цепи с обозначенными контурными токами показана на рис. 6.4.

Выразим токи ветвей через кон турные токи.

Рис. 6.4.

Ток ветви образуется одним контурным током, ток — разностью контурных токов (он совпадает по направлению с и противоположен), аналогично ток создается разностью контурных токов, а контурный ток совпадает с током источника ,.

.

тогда получим.

По закону Ома можно записать.

тогда по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров получим.

Для третьего контура с идеальным источником тока уравнение второго закона Кирхгофа не составляется.

В результате система уравнений метода контурных токов примет вид.

Преобразуя, получим.

Выразим из первого уравнения ток и подставим его во второе уравнение, из которого определим ток, в результате найдем контурные токи.

.

Как видно, выражение для тока совпадает с полученной ранее формулой для тока ветви, для которого получаем.

.

а для остальных токов ветвей можно записать.

.

.

Полученные токи ветвей совпадают с токами, полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа. Вычислив их, можно найти напряжения на элементах цепи. Проведите самостоятельно все необходимые вычисления.

Решить систему уравнений метода контурных токов численно можно с помощью пакета программ MathCAD. Листинг программы показан на рис. 6.5. Расчет проводится с помощью символических вычислений MathCAD, так как коэффициенты системы уравнений комплексные.

Результаты расчета — значения контурных токов — содержатся в векторе, ,. Далее проводится вычисление комплексных амплитуд токов ветвей. Полученные значения совпадают с полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

Метод контурных токов приводит к системе из уравнений, число которых всегда меньше числа ветвей. Таким образом, метод контурных токов эффективнее общего метода расчета цепи по уравнениям Кирхгофа.