Исходные данные. 
Нахождение оптимальных значений биотропных факторов, терапевтическое воздействие которых на организм человека оказывается с целью снижения систолического артериального давления

Целью данной курсовой работы является проведение полного факторного эксперимента, задачей которого является нахождение оптимальных значений биотропных факторов, терапевтическое воздействие которых на организм человека оказывается с целью снижения систолического артериального давления.

Рассматриваются следующие закодированные биотропные факторы:

Полный факторный эксперимент

К оптимизации приступают при наличии некоторых результатов предварительных исследований изучаемого объекта. Решение задачи оптимизации начинают с выбора области эксперимента. Выбор этой области производят на основе анализа априорной информации. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному.

Каждое сочетание уровней факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. Сочетание основных уровней принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки или, что одно и то же, центра плана.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание — нижний. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, а также не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни выходили за пределы области определения фактора. При этом необходимо учитывать, что увеличение интервалов варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика.

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, а нижний -1. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число экспериментов определяется зависимостью:

N = m^k.

Цель первого этапа планирования экстремального эксперимента — получение линейной модели. Он предусматривает варьирование факторов на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2^k.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Число строк в матрице равно количеству экспериментов. Значения функции отклика, полученные при выполнении экспериментов, обозначены через y₁, y₂ и y₃.

Под числом степеней свободы в статистике понимают разность между числом опытов и количеством коэффициентов модели, вычисленных по результатам этих экспериментов независимо друг от друга. Число степеней свободы f при линейной модели определяется по зависимости:

f = N — (k+1),

где N — число экспериментов; k — число факторов.

Число степеней свободы может быть использовано для проверки адекватности модели. Величина и знак коэффициента указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с верхнего на нижний уровень фактора.

Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 2² уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить зависимостью:

y=b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂.

Для этого эксперимента матрица планирования содержит столбец фиктивной переменной x₀. Он вводится для оценки свободного члена b₀. Столбец x₁x₂ получен перемножением столбцов x₁ и x₂. Он введен для расчета коэффициента b₁₂. При k = 2 построение матриц полного факторного эксперимента не вызывает затруднений, так как все возможные сочетания уровней факторов легко найти простым перебором. При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц. Рассмотрим наиболее простой прием. Он основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (x₁) знаки чередуются поочередно, во втором они чередуются через 2, в третьем — через 4, в четвертом — через 8, в пятом — через 16 и т. д. по степеням двойки.

После реализации полного факторного эксперимента, нахождения коэффициентов регрессии и проверки полученной модели на адекватность, переходят к решению экстремальной задачи. В данной курсовой работе рассмотрим метод крутого восхождения.

Движение по градиенту обеспечивает наиболее короткий путь к оптимуму, так как направление градиента — это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине.

Градиентом называют вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Градиент () непрерывной однозначной функции есть вектор:

где — частная производная функции по i-му фактору;

— единичные векторы и направлении осей факторов.

Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функции в ряд, частные производные функции по факторам равны по величине и знаку соответствующим коэффициентам регрессии. Следовательно, градиент y функции отклика y есть вектор:

Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс движения к области оптимума называют крутым восхождением.

Шаг движения по градиенту выбирают таким, чтобы его минимальная величина была больше ошибки, с которой фиксируют фактор. Максимальную величину шага ограничивает область определения фактора. Необходимо учитывать, что при движении к оптимуму малый шаг потребует значительного числа экспериментов, а большой шаг может принести к проскоку области оптимума. Шаг движения выбирают для одного фактора, а для остальных его рассчитывают по зависимости.

где _l — выбранный шаг движения для фактора l; _i — шаг движения для i-го фактора; b_i, b_l — коэффициенты регрессии i-го и l-го факторов; _i, _l — интервалы варьирования i-го н l-го факторов.

Движение по градиенту должно начинаться от нулевой точки (нулевого уровня каждого фактора), так как коэффициенты регрессии вычислены для функции отклика в окрестности нулевой точки. Рассчитав шаг движения для каждого фактора, находят условия «мысленных» опытов. «Мысленными» называют эксперименты, условия проведения которых на стадии крутого восхождения установлены с учетом шага движения для каждого фактора.

Если при движении к оптимуму возникает ситуация, препятствующая изменению каких-либо факторов, то эти факторы можно фиксировать на оптимальных уровнях, продолжая движение по остальным факторам. Крутое восхождение прекращается, если найдены условия оптимизации или если ограничения на факторы подтверждают дальнейшее движение по градиенту неразумным или невозможным.