Cети как способ описания сложных систем

Любая функция биологической системы реализуется какой-либо материальной структурой. Что же понимать под структурой в контексте функционирования? В терминах функциональных отношений выявлению механизма соответствует разложение (декомпозиция) исходной функции F (x) на более простые, базовые функции, обозначим их как {g_i}. Например, все многообразие биохимических реакций можно описать суперпозицией 26 базовых химических реакций (Мецлер, 1980a), а сложная обработка сигналов в нервной системе животных обеспечивается ансамблями нейронов с ограниченным набором типов функционирования. Декомпозицию, в общем виде, можно записать:

(3.1).

За элементы системы принимается некоторый набор подсистем {S_i}, реализующих базовые функции {g_i}. Коэффициенты связи { б_ij }описывают взаимодействие (отношения) между элементами структуры. Следовательно, когда определены базовые функции {g_i} и реализующие их подсистемы {S_i}, то структура биологической системы задается набором {S_i} и множеством коэффициентов связи { б_ij }.

Базовые функции могут включать в себя операции интегрирования, дифференцирования или временной задержки. В этом случае в модельной системе возникают внутренние переменные, что позволяет описывать биологические системы, для которых свойственно реагирование на временные паттерны.

В последнее время в передовых научных журналах (Nature, Science, PNAS) публикуется большое количество работ, в которых развивается подход к исследованию сложных систем, основанный на представлении этих систем в виде сетей. Проводиться сравнительный топологический анализ свойств сетей различной природы: метаболических путей, белок-белковых взаимодействий, пищевых цепей экосистем, энергетических систем, Интернета и др. (Strogatz, 2001; Sanjay, Sandeep, 2001; Jeong et.al., 2001; Albert et.al., 2001; Amaral et all, 2000; Barbasi, 1999). Обнаружен ряд свойств, общих для этих сетей, что говорит о потенциально широкой применимости сетевой модели, включая моделирование структурно-функциональных отношений.

Действительно, при изучении реальной системы ее описание всегда останавливается на некотором уровне детализации, когда за элементы системы принимается некоторый набор подсистем сходного уровня сложности (Мармарелис и Мармарелис, 1981). Следовательно, если определены подсистемы, то структура биологической системы может быть задана множеством коэффициентов связи между этими подсистемами. Коэффициенты связи описывают взаимодействие между элементами структуры. Компактной формой записи набора коэффициентов связи является матрица. В этом случае степень сходства структур можно оценивать через сходство описывающих их матриц.

Важно подчеркнуть, что процедура декомпозиции соответствует сетевому описанию. Действительно, сеть характеризуется набором узлов и коэффициентами связи между узлами, которые характеризуют силу влияния одного узла на другой. Таким образом, в сетевом описании {Si} - это узлы сети, а {aij} - это коэффициенты связи между узлами. Сетевое описание очень широко используется, в частности, в различных областях биологии. На рис. 3.1 приведена схема биотического круговорота через основные звенья упрощенной экосистемы (Печуркин, 1988).

Эта схема соответсвует сетевому описанию. Звенья экосистемы соответствуют узлам сети, а стрелки указывают влияние звеньев друг на друга. Подобные схемы в биологии встречаются очень часто, например, схема путей развития эритроцитов и лимфоцитов из стволовых клеток крови, схема действия стероидных гормонов (Газарян, Белоусов, 1983). гормонов (Газарян, Белоусов, 1983).

Часто изучение сложных экосистем основывается на классической модели Лоттка-Вольтерра:

(3.2).

Где численность каждого вида, e_t — коэффициент размножения, а — константы, отражающие влияние видов друг на друга. Соле с соавторами (Sole et.all., 1999) использует эту модель для случая большого числа видов, подчеркивая ее сетевой характер.

Математически сетевое описание всегда предполагает наличие в уравнении члена, описывающего влияние узлов друг на друга. Такие члены встречаются во многих математических моделях, хотя в них не всегда явно говорится о сетевом описании. Например, в настоящее время считается, что химическая формула соединения в принципе содержит всю информацию о любых его свойствах, но для этого необходимо установить корреляционное соотношение структура-свойство. При установлении этого соотношения для какого-либо свойства Р, записывается соотношение.

(3.3).

где Рц — однофрагментный вклад, соответствующий i-му фрагменту молекулы, Pj — двухфрагментный вклад, отвечающий поправке на взаимодействие i-го и jго фрагментов. (Голованов и др., 1998). Поскольку есть фрагменты — узлы и их взаимодействия, то это представление тоже соответствует сетевому описанию.

В литературе представлена интересная попытка разделения формальным образом структуры и функции сетей обработки информации. В полученном математическом выражении разделены роли, которые играют структура сети, данная через свои связи, и ее функция, представленная набором операторов, связанных с элементами. (Von Foerster et al, 1968). Это исходно перспективное направление исследований применимо в полной мере к сетям с линейными операторами и для некоторых частных видов так называемых неоднородных операторов. К сожалению, этот подход практически неприменим к сетям общего вида.

Таким образом, достаточно универсальным описанием биологических систем является сетевое описание, однако поскольку нас интересует структурно-функциональные отношения систем, возникших эволюционным путем, то необходима модель, которая формирует структуру для выполнения данной функции в процессе, в определенном смысле, похожем на эволюционный процесс.

Анализ существующих формальных моделей показывает, что наиболее адекватными для целей данного исследования являются сети из формальных нейронов, так называемые нейросети.