Формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
То есть именно так и вычисляется частный вектор — вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор на рассматриваемом участке через вычисленные частные вектора,, соответствующих подучастков,,. Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор… Читать ещё >
Формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:
предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:
.
Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:
.
.
.
.
.
.
что и требовалось подтвердить.
Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:
Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов =const.
Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор на участке приближенно в виде постоянной величины, что позволяет вынести этот вектор из-под знаков интегралов:
Известно, что при T=(at+b) имеем.
В нашем случае имеем.
Тогда получаем.
.
Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке :
Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами для каждого участка может использоваться осредненная матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений.
Если рассматриваемый участок интервала интегрирования не мал, то предлагаются следующие итерационные (рекуррентные) формулы.
Приведем формулы вычисления вектора частного решения, например, на рассматриваемом участке через вектора частного решения, , соответствующих подучастков.
, .
Имеем .
Также имеем формулу для отдельного подучастка:
.
Можем записать:
.
.
Подставим в и получим:
.
Сравним полученное выражение с формулой:
и получим, очевидно, что:
и для частного вектора получаем формулу:
.
То есть вектора подучастков не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.
Аналогично запишем и подставим сюда формулу для и получим:
Сравнив полученное выражение с формулой:
очевидно, получаем, что:
и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:
То есть именно так и вычисляется частный вектор — вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор на рассматриваемом участке через вычисленные частные вектора, , соответствующих подучастков, , .
Применяемые формулы ортонормирования
Взято из [Березин, Жидков]. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка n:
=.
Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения жирным шрифтом.
Будем рассматривать строки матрицы системы как векторы:
=(,…,).
Ортонормируем эту систему векторов.
Первое уравнение системы = делим на.
При этом получим:
++…+=, =(,…,),.
где =, =, =1.
Второе уравнение системы заменяется на:
++…+=, =(,…,),.
где =, =,.
=-(,), =-(,).
Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:
++…+=, =(,…,),.
где =, =,.
=-(,)-(,)-…-(,),.
=-(,)-(,)-…-(,).
Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических уравнений линейно независима.
В результате мы придем к новой системе, где матрица будет с ортонормированными строками, то есть обладает свойством, где — это единичная матрица.