Линейные кинематические параметры

Как уже отмечалось, достаточно полное описание движения точки должно содержать информацию о трех кинематических параметрах для любого момента времени: о положении точки в выбранной системе координат, о скорости и ускорении точки. Вообще говоря, все эти параметры связаны между собой, и знание одного из них плюс начальные их значения, позволяет определить остальные параметры.

Дадим определения кинематическим параметрам.

Положение точки Выберем систему отсчета и начало отсчета — точку О.

Допустим, что в момент времени t точка находилась в положении 1. Через время t точка оказалась в положении 2 (Рис 3.1).

Положение точки определяется радиус-вектором r(t). Это вектор, проведенный из начала отсчета в данную точку.

Например, положение 1 характеризуется вектором r(t), а положение 2 характеризуется вектором r(t+t).

Линия, соединяющая последовательные положения конца вектора называется годографом этого вектора.

Годограф вектора r (t) — это траектория движения точки.

Длина траектории называется путем S.

Перемещением точки называется вектор r, проведенный из начальной точки движения 1 в конечную точку 2.

Из рис. 2.1 видно r(t) + r = r(t+t). Отсюда следует:

r = r(t+t) — r(t). (3.1).

Следовательно, перемещение r точки за время t — это разность конечного и начального положений точки.

В декартовой системе координат положение точки записывается в виде:

r(t) = x(t)e_x + y(t)e_y + z(t)e_z, (3.2).

где x(t), y(t), z(t) — координаты точки в момент времени t.

Перейдем к понятию скорости.

Скорость Когда мы хотим объяснить, как быстро передвигалась материальная точка, то есть какова ее скорость, мы говорим, что она за какую-то единицу времени прошла такое-то расстояние.

Если за время t точка совершила перемещение r, то отношение r/t будет характеризовать среднюю скорость v точки за время t.

v = r/t. (3.3).

Конечно, при этом точка на этом участке может двигаться неравномерно. Например, свободно падающее тело за каждую секунду проходит разные расстояния. При этом мы также понимаем, что в начале и в конце каждой секунды тело имело разные скорости.

Если мы будем пытаться определять скорость в момент времени t, то, очевидно, нужно уменьшать промежуток времени t, и в течение этого промежутка определять перемещение r материальной точки. До какого предела можно уменьшать промежутки времени t? При этом r также будет стремиться к нулю. Есть ли предел отношению r/t?

Проблемы, связанные с бесконечно малыми величинами, были решены только с введением И. Ньютоном и Г. Лейбницем дифференциального исчисления. Предел отношения r/t существует и будет точно определять мгновенную скорость точки.

Мгновенной скоростью v(t) в момент времени t называется предел отношения r/t при t стремящимся к нулю. В математике такой предел называется производной от радиус-вектора r(t) по времени t и обозначается dr /dt.

. (3.4).

При стремлении t к нулю направление перемещения dr совпадает с направлением касательной к траектории движения точки в момент времени t (рис. 3.1).

Поэтому направление скорости v(t) совпадает с направлением касательной в данной точке траектории и указывает направление движения материальной точки.

Если орт скорости обозначить за e, который совпадает по направлению с касательной, то вектор скорости можно записать в виде:

v = ve. (3.5).

Определим модуль вектора скорости v:

.

Так как при стремлении t к нулю модуль перемещения r стремиться к длине дуги S, то dr= dS, и поэтому модуль скорости v равен производной пути S по времени t.

. (3.6).

В декартовой системе координат скорость точки записывается в виде:

v(t) = .

В физике принято производные по времени обозначать точкой над буквой, обозначающей данную величину.

Если орты координатной системы не изменяются в пространстве со временем, получим:

v(t) = e_x + e_y + e_z, (3.7).

где — проекции вектора скорости точки (компоненты скорости) v(t) в момент времени t на соответствующие оси.

Таким образом, компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

Модуль скорости, выраженный через компоненты скорости равен:

. (3.8).

Модуль средней скорости и средний модуль скорости могут существенно отличаться. Например, точка движется равномерно по окружности радиуса R. За период обращения T перемещение точки равно нулю, так как начало и конец вектора перемещения находятся в одной и той же точке. Следовательно, модуль средней скорости (3.3) за время T равен нулю. Путь же, пройденный точкой за время T, равен 2R и средний модуль скорости будет равен: = 2R/T. Легко убедиться, что в приведенном примере модуль средней скорости зависит от выбранного промежутка времени t, а средний модуль скорости не зависит.

Ускорение Если скорость v показывает, как изменяется радиус-вектор r точки со временем, то ускорение w показывает, как изменяется скорость v точки. Повторив предыдущие рассуждения, можно прийти к следующим определениям ускорений.

Мгновенным ускорением w называется предел отношения приращения скорости v к промежутку времени t, за который произошло это приращение, при стремлении t к нулю:

. (3.9).

Более краткая формулировка: мгновенное ускорение это производная скорости по времени.

Используем выражения (3.4) и (2.2) для записи ускорения w:

. (3.10).

Первое слагаемое в этом выражении w — вектор, направленный по скорости v, и по модулю равный изменению скорости по абсолютной величине (см. рис 3.2). Эта составляющая ускорения называется тангенциальным ускорением.

Второе слагаемое w_n отвечает за изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением. Найдем модуль и направление этого вектора следующим образом.

Для того чтобы вычислить нормальное ускорение необходимо вычислить производную. Орт e может изменяется только по направлению, что соответствует движению точки по искривленной траектории.

Каждому бесконечно малому участку искривленной траектории можно сопоставить окружность радиуса R, которая сливается с ним на этом участке. Радиус этой окружности характеризует кривизну траектории в данной точке. Поэтому движение точки на криволинейном бесконечно малом отрезке траектории можно представить как движение по окружности радиуса R.

При движении точки по окружности вектор ее скорости и соответственно орт скорости е вращаются с некоторой угловой скоростью .

Как мы показали (2.13), производная вращающегося, постоянного по модулю вектора равна: е. Таким образом, эта производная будет определять направление нормального ускорения. Направление единичного вектора совпадающего по направлению с вектором е называется главной нормалью.

Таким образом, нормальное ускорение w_n будет равно.

vе = v. (3.11).

Из элементарного курса физики известно, что модуль угловой скорости точки при ее движении по окружности связан с модулем скорости соотношением: = v/R. Следовательно, модуль нормального ускорения будет равен: .

Модуль полного ускорения равен:

. (3.12).

Для того чтобы представить вектор ускорения w в декартовой системе координат нужно в выражении (3.9) скорость точки v записать в координатном виде. Получим:

w(t) = .