Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным

Пусть изучается система количественных признаков (Х_} Y). В результате п независимых опытов получены п пар чисел (х_[У г/,), (*₂.У₂).-> (*>*/")•.

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии (см. гл. 14, § 20). Для определенности будем искать уравнение.

регрессии Y на X.

Поскольку различные значения х признака X и соответствующие им значения у признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:

Угловой коэффициент прямой линии регрессии YнаХ называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают через р; он является оценкой коэффициента регрессии р (см. гл. 14, § 20).

Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Yна X вида.

Подберем параметры р и b так, чтобы точки (х_х; г/,), (х₂; г/₂),…, …, (х_п; у")_у построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой (*). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность.

где Y. — вычисленная, но уравнению (*) ордината, соответствующая наблюдаемому значению x_jy_j — наблюдаемая ордината, соответствующая х.

Подберем параметры p_/v и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров (временно вместо р будем писать р):

или

Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие час тные производные:

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно р и Ь':

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на F:

где р_{Л (/} — выборочный коэффициент регрессии X на Y.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X но данным п = 5 наблюдений:

Решение. Составим расчетную табл. 11.

Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные по таблице суммы в соотношения (***):

Я.

¹ Для простоты записи вместо условимся писать • .

Таблица 11

Напишем искомое уравнение регрессии.

Для того чтобы получить представление, насколько хорошо вычисленные, но этому уравнению значения У. согласуются с наблюдаемыми значениями у., найдем отклонения У — у. Результаты вычислений приведены в табл. 12.

Таблица 12

Как видно из таблицы, не все отклонения достаточно малы. Это объясняется малым числом наблюдений.