Преобразование дифференциальной задачи в разностную

Метод приведения уравнений к безразмерному виду

Безразмерные переменные и необходимость их использования

Значения параметров, получаемые с помощью методов численного решения дифференциальных уравнений, будут отличаться от их истинных значений из-за наличия ошибки аппроксимации. Поэтому алгоритмы решения уравнений математических моделей, изучаемые в данном пособии, могут оказаться непригодными, если уравнения модели содержат переменные, значения которых отличаются по порядкам. Так, погрешности при определении параметров, порядки которых велики, могут быть не значимы для них самих, но в то же время они будут сильно искажать значения параметров меньших порядков. Поэтому прежде чем перейти к созданию алгоритма для решения уравнений математической модели, необходимо привести эти уравнения к безразмерному виду, т. е. провести операцию обезразмеривания переменных, в результате которой все переменные математической модели будут иметь одинаковый порядок.

Рассмотрим процедуру обезразмеривания на примере математической модели процесса кристаллизации, протекающего в ёмкостном периодическом реакторе идеального смешения:

где с — объёмная концентрация кристаллизующегося компонента; — плотность кристалла; г — скорость роста кристалла; f (jt)dr — число крис;

таллов в единице объёма смеси с размером (объёмом) от г до г + dr; R — наибольший объём кристалла.

Безразмерные переменные вводятся с помощью соотношений:

где переменные с индексом (0) соответствуют характерным параметрам процесса.

Как правило, могут быть известны лишь некоторые характерные параметры процесса, например, в данном случае это характерное время процесса (?₀), характерный размер кристалла (г₀) и характерная концентрация кристаллизующегося компонента в растворе (с₀). Кроме этого, обычно принимают равенство:

поскольку в модели (2.1) плотность и концентрация имеют одинаковую размерность. Однако характерную скорость роста кристаллов (Ц о) и характерное значение плотности функции распределения кристаллов по размерам (f₀) непосредственно измерить невозможно. Их значения определяют из безразмерных комплексов характерных параметров согласно методике, рассмотренной ниже.