Релятивистская механика материальной точки

Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки.

Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т. д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b равен, где — скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x, y, z, в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен.

В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x, y, z, t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести «4-радиус-вектор» c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен.

Мгновенной скорость материальной точки не является лоренцинвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную «4-скорость», которая имеет компоненты.

— интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds — релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки.

и соотношением, т. е.

где v — обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что.

Аналогичным образом релятивистски инвариантное «4-ускорение «Минковский определил следующим образом:

Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:

где — так называемая «масса покоя» материальной точки — компоненты так называемой «4-силы «Минковского.

Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что так что т. е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с.

Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие уравнения движения:

Три уравнения, в которые входят легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону, а импульс движущейся материальной точки определяется формулой где v — вектор мгновенной скорости материальной точки.

Четвертое уравнение, в которое входит, оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на -, соответственно и сложим. Получим тогда уравнение.

Отсюда можно найти. Имеем.

где — мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом, и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид :

Таким образом, величину следует считать энергией движущейся материальной точки. Если, то приближенно получаем.

Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки, а первое слагаемое — так называемая «энергия покоя». Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину.

Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем так что имеем формулу В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо описывают механические движения.

Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.