Колебания и волны

Механические колебания

Гармонические колебания. Осциллятор

В природе часто встречается периодическая зависимость от времени различных физических величин. Периодически изменяются со временем температура и освещенность при вращении Земли, периодическое движение совершают маятник часов и колеблющийся грузик на пружине. Периодическим называют процесс, при котором физическая величина принимает одинаковые значения через равные промежутки времени. Такие характерные промежутки времени называют периодом процесса.

При движении точки с постоянной скоростью по окружности период равен времени полного оборота. При колебаниях периодом является время, в течение которого совершается полное колебание. Вычислим период колебаний математического маятника — материальной точки, характеризуемой массой m и подвешенной на невесомой нити длиной (рис.).

При свободном движении маятника в поле силы тяжести остается постоянной полная энергия маятника — сумма кинетической и потенциальной энергий.

E = T + U. Следовательно, при бесконечно малом перемещении маятника вдоль траектории изменение полной энергии должно быть равно нулю.

Изменение потенциальной энергии маятника при его перемещении на расстояние dr можно вычислить как работу силы тяжести на пути dr. При этом работу совершает лишь составляющая силы тяжести вдоль направления движения. Составляющая силы тяжести, нормальная к направлению движения, работу не совершает. Таким образом, dU = mgsin dr.

Изменение полной энергии:

Произведя дифференцирование и разделив это уравнение сначала на dt, а затем на величину mv=mdr/dt, получим уравнение движения маятника в виде:

.(3.1).

Удобно перейти к переменной, пользуясь соотношением dr = d.

.(3.2).

Это уравнение довольно сложное, несмотря на свой простой вид. Его можно упростить в случае малых колебаний, когда величина угла колебаний маятника, измеряемая в радианах, мала по сравнению с единицей, << 1. В этом случае можно заменить sin ~, и уравнение движения принимает вид:

.(3.3).

Решением уравнения (3.3) является функция (в чем можно убедиться при прямой подстановке).

= 0cos (щt+0),(3.4).

где 0— максимальный угол отклонения маятника, являющийся амплитудой колебаний; щ— угловая частота колебаний, связанная с периодом колебаний соотношением щ=2/T; 0 — начальная фаза колебания — величина, характеризующая угол отклонения маятника (0cos0) в начальный момент его движения (t = 0).

Подставляя выражение (3.4) в уравнение (3.3), найдем, что последнее выполняется при значении угловой частоты:

(3.5).

называемой собственной частотой колебаний маятника. Таким образом, период колебаний маятника:

.(3.6).

Обратим внимание на то, что период собственных колебаний не зависит ни от амплитуды колебаний маятника, ни от величины колеблющейся массы.

Рассмотрим другой пример малых колебаний вблизи положения равновесия — колебания массы под действием упругой силы (рис.). Если на конце пружины закреплена масса m и пружина характеризуется жесткостью k, то при смещении массы на расстояние x возникает возвращающая упругая сила F = -kx. Уравнение колебаний массы в этом случае имеет вид:

(3.7).

аналогичный уравнению (5.3):

.(3.8).

Собственной частотой колебаний массы на пружине является величина:

(3.9).

а зависимость смещения массы от времени определяется выражением, аналогичным выражению (3.4):

x (t) = xmcos (щ0t+0). (3.10).

Такими же уравнениями колебательного движения описывается равномерное вращение точки по окружности постоянного радиуса. Колебания при этом испытывают координаты точки x (t) и y (t) (рис.):

x (t)=Rcos (щt+),(3.11).

y (t) = Rsin (щt +) = Rcos (щt±/2),.

где угловая частота щ=v/R определяется постоянной скоростью вращения v. Видно, что координата y определяется той же периодической зависимостью от времени, что и координата x, но только сдвинутой относительно последней на /2.

Все рассмотренные выше примеры имеют общее свойство — во всех случаях движение может быть описано с помощью всего лишь одной периодически изменяющейся со временем величины. В случае маятника такой величиной является угол отклонения (t), в случае массы на пружине — величина смещения x (t), в случае движения точки по окружности — одна из координат x (t) или y (t) (другая может быть выражена через первую с помощью уравнения окружности). В механике о таких движениях говорят как о движениях с одной степенью свободы или одномерных движениях. Таким образом, при одномерном периодическом движении координата, соответствующая определенной степени свободы системы, испытывает колебания.

Материальную точку, совершающую колебания, называют осциллятором (от английского слова oscillation — колебание). Колебание, которое происходит по закону cos (щt) и характеризуется единственной частотой щ, называют гармоническим (поскольку гармоническое звуковое колебание соответствует одному тону).

Таким образом, рассмотренные выше колебания представляют собой частные случаи свободных колебаний гармонического осциллятора:

(3.12).

решение которого будем записывать в виде:

x (t)= Acos (щ0t+), (3.13).

здесь Aамплитуда колебаний; щ0 — собственная частота; величина щ0t±фаза колебания.

Удобство использования представления о гармоническом осцилляторе связано с тем, что сложные колебания системы со многими степенями свободы можно представить в виде набора колебаний отдельных гармонических осцилляторов, соответствующих различным степеням свободы.

Определим энергию гармонического осциллятора. Энергия колебания представляет собой полную энергию механического движения, выраженную через частоту и амплитуду колебания. Координата и скорость частицы, совершающей колебания, x (t)= Acos (щ0t+), v = -Aщ0sin (щ0t+), поэтому кинетическая и потенциальная энергия осциллятора примут вид:

.

Выразим постоянную k с помощью соотношения:

.

Полная энергия осциллятора.

.(3.14).

Таким образом, энергия колебаний пропорциональна квадрату собственной частоты и квадрату амплитуды колебаний. Обратим внимание на сходство этого выражения с энергией вращения материальной точки вокруг некоторой оси: T=Jщ2/2, где J — момент инерции точки. Роль момента инерции играет величина mA2.

Комплексные числа Комплексным числом z называется число вида.

z=x+iy,(1).

где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (i2=—1). Число x называется вещественной частью комплексного числа z. Символически это записывается в виде x=Rez. Число у называется мнимой частью z (записывается: y=lmz). Число.

z*=x—iy.(2).

называется комплексно сопряженным числу x+iy. Вещественному числу x можно сопоставить точку на оси x.

Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости, имеющую координаты x, y (рис.). Каждая точка плоскости определяет некоторое комплексное число z. Следовательно, комплексное число можно задать с помощью декартовых координат x и y соответствующей точки. Однако то же самое число можно задать с помощью полярных координат с и ц. Между обеими парами координат имеются соотношения.

x = с? cosц, y = с? sinц,, ц=arctg (y/x).(3).

Расстояние от начала координат до точки, изображающей число z, называется модулем комплексного числа (обозначается |z|). Очевидно, что.

z=.

Число ц называют аргументом комплексного числа z.

Приняв во внимание соотношения (3), можно представить комплексное число в тригонометрической форме:

z=с (cosц+i sinц).

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 считаются равными друг другу, если в отдельности равны их вещественные и мнимые части:

z1=z2, если x1=x2 и y1=y2.

Модули двух равных между собой комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным 2р:

с1 = с2, ц1=ц2±2kр.

Из выражений (1) и (2) видно, что в случае, когда z*=z, мнимая часть z есть нуль, т. е. число z оказывается чисто вещественным. Таким образом, условие вещественности числа z можно записать в виде.

z* =z.

В математике доказывается соотношение.

eiц = соsц +isinц,(4).

которое называется формулой Эйлера. Заменив в этой формуле ц на —ц и учтя, что cos (—ц)=cosц, a sin (_ц) = — sinц, получим соотношение.

e_iц = соsц _ i? sinц.(5).

Сложим выражения (4) и (5) и решим получившееся соотношение относительно cosц. В результате имеем соsц = ½?(eiц +е_iц).

Вычтя (5) из (4), получим, что sinц = (½i) (eiц _ e_iц).

С помощью формулы (4) комплексное число можно записать в показательной форме:

z = сe_iц.

Комплексно сопряженное число в показательной форме имеет вид.

z* = сe_iц.

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

z1+z2=(x1+x2)+i (y1+y2).

Перемножение комплексных чисел удобно осуществлять, беря эти числа в показательной форме:

z = z1•z2 = с1eiц1? с2eiц2 = с1с2ei (ц1 + ц2).

Модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются:

с=с1?с2, ц=ц1+ц2.

Аналогично осуществляется деление комплексных чисел:

легко получить, что.

z•z* = с2.

(квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на его комплексно сопряженное).