Математический аппарат электродинамики

1. Комплексные числа

Рассмотрим комплексную плоскость (рис. Е.1). Каждой точке комплексной плоскости соответствует комплексное число, которое можно представить в алгебраической либо показательной формах:

,.

алгебра векторный функция скалярный где — действительная часть комплексного числа — мнимая часть комплексного числа i — мнимая единица, определяемая формулами.

.

Из рис. Е.1 и вышеприведенных формул следуют соотношения:

,.

.

Эти формулы позволяют совершить переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме и, наоборот — от показательной к алгебраической.

Сложение (вычитание) комплексных чисел и производится в соответствии с формулами:

.

Умножение комплексных чисел и производится в соответствии с формулами:

.

Деление комплексных чисел и производится в соответствии с формулами:

.

2. Векторная алгебра

Рассмотрим вектор. Его можно представит в общем (некоординатном) виде как, где — орт (единичный вектор), показывающий направление вектора; - модуль (длина) вектора .

Вектор также можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов.

В декартовой системе координат (x, y, z) это представление имеет вид.

.

В цилиндрической системе координат (, ,) это представление имеет вид.

.

где — орты цилиндрической системы координат (см. рис. Е.2); , — проекции векторов на соответствующие направления цилиндрической системы координат.

В сферической системе координат (, ,) это представление имеет вид.

.

где — орты сферической системы координат (см. рис. Е.3); , — проекции векторов на соответствующие направления сферической системы координат.

Рассмотрим векторы и. Скалярное и векторное произведение этих векторов определяются формулами:

.

где — угол между векторами.

.

где — единичный вектор нормали к плоскости, содержащей векторы и, причём, и взаимно перпендикулярны и образуют «правую тройку».

Пусть векторы и, представлены через свои проекции в декартовой системе векторов.

.

В этом случае скалярное и векторное произведение векторов и, можно найти по формулам:

.

.

Рисунок 2 — Цилиндрическая система координат Аналогичные представления имеют место для цилиндрической, сферической и других ортогональных систем координат.

Рисунок 3 — Сферическая система координат.

3. Векторный анализ

Рассмотрим операции над скалярной функцией и векторной функцией в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Векторный оператор «набла» в декартовой системе координат определяется по формуле:

.

Градиент скалярной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

.

.

.

Дивергенция (расходимость) векторной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

.

.

.

Скалярный оператор Лапласа функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

.

.

.

Ротор (вихрь) векторной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

.

4. Интегральные формулы векторного анализа.

Теорема Остроградского-Гаусса.

.

Теорема Стокса.

.

Теорема Грина.

.

В интегральных формулах приняты следующие обозначения:

 — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, которая ограничивает объем; , — единичный вектор касательной к контуру L, на который опирается поверхность S.

5. Дифференциальные формулы векторного анализа

.

.

.

.

.

.

.