Диэлектрическая проницаемость полярных диэлектриков

Рассмотрим диэлектрик, состоящий из полярных молекул. Пренебрегая электронной поляризацией молекул, будем считать их электрические дипольные моменты постоянными по величине.

где i — номер молекулы.

Молекулы, совершают непрерывное тепловое движение, интенсивность которого характеризуется абсолютной температурой Т. Одним из видов теплового движения молекулы является ее вращение вокруг собственных осей. При соударениях молекул изменяется направление и скорость их вращения. Так как соударения происходят сравнительно часто, вектор pi дипольного момента молекулы за достаточно длительный промежуток времени может принимать самые различные направления (рис. 12.5). Тепловое движение приводит к тому, что, дипольные моменты полярных молекул ориентированы случайным образом (рис. 12.5 а), а внешнее электрическое поле стремится развернуть молекулы так, чтобы их дипольные моменты были направлены как вектор напряженности поля (рис. 12.5 б).

Рис. 12.5. Влияние электрического поля на полярные молекулы.

Полярная молекула с дипольным моментом р во внешнем поле приобретает потенциальную энергию.

Если бы не тепловое движение, все молекулы развернулись так, чтобы их энергия была наименьшей, т. е. приняли бы положение, в котором дипольные моменты совпадают по направлению с вектором напряженности электрического поля. Распределение дипольных моментов молекул по направлениям обусловлено двумя факторами: 1) тепловым движением, которое приводит к беспорядочной ориентации молекул, и 2) наличием электрического поля, которое стремится упорядочить направления векторов р,.

Рис. 1S.6. К вычислению _Рис /2 7 К вычислению.

поляризованноети диэлектрика, телесного угла dfl

состоящего из полярных молекул

Выделим в однородно поляризованном диэлектрике небольшой объем V. Пусть N есть число молекул в этом объеме. Мысленно перенесем векторы pi дипольных моментов этих молекул так, чтобы совпали их начала (рис. 12.6). Равновесное распределение молекул по направлениям векторов pi описывается законом Больцмана:

где dN — число молекул, векторы электрических моментов которых находятся внутри телесного угла dQ, к постоянная Больцмана, Т — температура вещества, А — нормирующий множитель.

Очевидно, что интегрирование выражения (12.32) по всем направлениям даст число N всех молекул в объеме V:

По определению поляризованность диэлектрика.

Так как число слагаемых в этой сумме очень велико, ее удобно заменить интегралом:

Подстановка распределения Больцмана (12.32) приводит к следующму выражению для поляризованности:

где n = N/V концентрация молекул.

Электрическое иоле внутри малого объема V можно считать однородным, а его силовые линии — параллельными прямыми. Построим декартову систему координат таким образом, чтобы ось г совпадала с одной из силовых линий элек грического поля (рис. 12.6). Из соображений симметрии ясно, что вектор Р должен быть параллелен вектору напряженности электрического ноля и поэтому он также будет направлен вдоль оси г:

Так как проекция вектора р на ось 2 равна.

где 0 — угол между осью z и вектором р, из формулы (12.37) следует, что где среднее значение (cos в) будет.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

где параметр Для вычисления интегралов в формуле (12.40) необходимо выразить величину телесного угла dQ через сферические углы 9 и <�р (рис. 12.7). Причем угол в изменяется от 0 до 7 г, а угол <�р — от 0 до 2л По определению телесный угол dQ равен площади четырехугольника, который вырезают из сферы единичного радиуса две вертикальные плоскости <�р = const, <�р + dtp = const и два конуса в = const, в + d0 = const. Так как стороны этого четырехугольника равны sin в d9 и c/v?, телесный угол будет.

Подставим (12.42) в (12.40). После интегрирования по углу <�р получим.

Это выражение удобно представить в следующем виде:

Этот интеграл можно вычислить при помощи подстановки t = cos в. Полученное в результате интегрирования выражение, содержащее параметр а, называется функцией Ланжевена и обозначается L (a):

Вычисление этого интеграла не составит большого труда. После несложных преобразований придем к формуле.

Рис. 12.8.

Функция Ланжевена

График функции Ланжевена показан на рис. 12.8. Как видно, зависимость среднего значения {cos 9) = L (a) от параметра а представляет собой монотонно возрастающую функцию. Когда напряженность электрического поля равна нулю, параметр а также равен нулю. При этом (cos 0) = 0. Это означает, что в отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты молекул ориентированы хаотически. Когда напряженность электрического поля велика, параметр а —? оо. В этом случае (cos0) = 1. Это означает, что в сильном электрическом поле дипольные моменты всех молекул будут направлены по полю.

При малых значениях а, т. е. когда а « 1, экспоненту в (12.45) можно разложить в ряд по степеням а и оставить в этом ряду только два первых слагаемых. Тогда после интегрирования получим.

Предположим, что напряженность локального электрического поля определяется формулой.

где Л — подгоночный параметр. Для поля Лоренца Л = 1/3. Диэлектрическая восприимчивость _е определяется зависимостью (12.3) поляризованности Р_г от напряженности Е_г электрического поля. Опустим для краткости индекс z в обозначениях проекций векторов на ось z: Р_г = Р, Е_г = Е. В рассматриваемом случае зависимость Р = Р (Е) дается системой уравнений (12.39), (12.41), (12.46) и (12.48), которую можно преобразовать к виду.

Эта система не имеет простого аналитического решения. Однако зависимость Р = Р (Е) легко можно построить при помощи персонального компьютера. Для этого входящие в уравнения (12.49) переменные величины желательно представить в виде безразмерных параметров. При этом окажется, что функция Р = Р (Е) будет содержать в себе в качестве такого параметра отношение Т/Т_е, где.

— критическая температура, называемая температурой Кюри.

На рис. 12.9 показаны зависимости Р = Р (Е) для двух значений температуры Т и Та = 2Ть каждая из которых выше критической. В сильном электрическом поле дипольные моменты всех молекул направлены по полю. При этом поляризованность диэлектрика принимает наибольшее значение

В таком случае говорят, что поляризованность достигла насыщения Как видно, при одном и том же значении Е напряженности электрического поля поляризованность Р диэлектрика будет тем больше, чем меньше температура.

Рис. 12.9.

Зависимость по^хяризованности полярного диэлектрика от напряженности электрического поля

Как видно из рис. 12.9. в слабых электрических полях зависимость Р = Р (Е) будет линейной. Найдем эту зависимость. Для этого подставим в первое из уравнений (12.49) приближенное выражение (12.47) дчя функции Ланжевена:

Исключив параметр а, придем к зависимости.

где диэлектрическая восприимчивость.

Зависимость (12.53) диэлектрической восприимчивости от температуры носит название закона Кюри — Вейсса.

При температурах ниже температуры Кюри зависимость Р = Р (Е) имеет более сложный характер. График такой зависимости Р = Р (Е) представлен на рис. 12.10 кривой, которая называется петлей гистерезиса. Из этого рисунка видно, что при выключении электрического поля вещество остается поляризованным. Вещества, сохраняющие поляризацию в отсутствие внешнего поли, называются сегнетоэлектриками. Таким свойством могут обладать только кристаллы, обладающие определенным строением. Значение поляризованности, соответствующее Е = О, называется спонтанной, или остаточной поляризованностью. Поляризованность сегнетоэлектрика обращается в нуль, если изменить направление вектора напряженности электрического поля и увеличивать ее до значения Е_с, которое называется коэрцитивной силой. С повышением температуры площадь петли гистерезиса уменьшается. При температурах выше температуры Кюри сегнетоэлектрические свойства вещества исчезают.

Рис. 12.10. Петля гистерезиса.

Изложенная здесь теория свойств полярных диэлектриков не является полной, объясняющей все эффекты, наблюдаемые при исследовании диэлектриков. Например, расчет температуры Кюри по формуле (12.50) при значении Л = 1/3 дает для многих веществ чрезвычайно завышенные значения. Согласно этой формуле многие твердые диэлектрики должны проявлять сегнетоэлектрические свойства даже при комнатной температуре. Этот вывод теории носит название «поляризованная катастрофа».

Для большинства полярных диэлектриков температура Кюри очень низка. В этом случае зависимость (12.53) диэлектрической восприимчивости от температуры принимает вид.

Это соотношение называется формулой Дебая — Ланжевена.

Величина.

есть средняя поляризованность, приходящаяся на одну молекулу. Она называется ориентационной поляризуемостью. Одновременно с ориентационной поляризацией полярной молекулы, под действием внешнего поля возникает ее электронная поляризация, которая характеризуется электронной поляризуемостью а_е. Полная поляризуемость равна сумме электронной и ориентационной поляризуемостей:

Подставив эту сумму в формулу Клаузиуса — Мосотти (12.28), получим равенство.

Это равенство справедливо для газов из полярных молекул и растворов полярных молекул в неполярных растворителях.

Рис. 12.11. Экспериментальная зависимость nojiMpueyeMOcmu полярных молекул от обратной температуры.

Экспериментальные зависимости величины (е_г — 1)/(?> 4- 2) от обратной температуры 1 /Т изображаются наклонными прямыми (рис. 12.11), что подтверждает справедливость равенства (12.57). Согласно этому равенству тангенс угла 0 наклона прямой к оси абсцисс.

Эту формулу используют для вычисления дипольных моментов молекул.

Содержащиеся в данной главе сведения дают представление об электрических свойствах материалов, применяемых в технике. В малогабаритных накопителях энергии, используемых в качестве источников питания различных приборов, применяются диэлектрики с большими значениями диэлектрической проницаемости и по возможности с малой электрической проводимостью. Коаксиальные кабели, по которым передаются электрические сигналы, заполняются веществом с заданными электрическими и магнитными свойствами. Особые требования предъявляются к изоляторам, которые должны выдерживать высокие напряжения и вместе с тем иметь достаточно малые размеры. Для создания новых материалов с заданными электрическими свойствами необходимо знать микроструктуру этих материалов и понимать действие механизмов, определяющих их свойства. Рассмотренные в этой главе модели и теории диэлектрической проницаемости знакомят читателя с существом проблемы, и приводят к формулам, которые могут быть использованы в инженерных расчетах.