Непрерывно-стохастические модели систем (Q — системы)

Стохастические системы с дискретными состояниями, функционирующие в непрерывном времени, называют системами массового обслуживания (СМО) или системами с очередями или Q-системами (Queue — очередь).

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые будем называть Q-схемами.

Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

Системы массового обслуживания — это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Основные соотношения. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования Q-схем.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки.

Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания Пi (рис. 1), состоящего из накопителя заявок Hi в котором может одновременно находиться заявок, где емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Ki. На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi — поток заявок wi, на канал Ki —- поток обслуживаний ui.

Рис. 1. Прибор обслуживания заявок

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью.

где tn — момент наступления n-го события — неотрицательное вещественное число. Потоком неоднородных событий называется последовательность (tn, fn), где tn — вызывающие моменты; fn — набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Рассмотрим поток, в котором события разделены интервалами времени ф1, ф2,…, которые вообще являются случайными величинами. Пусть интервалы ф1, ф2,… независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием.

Пример потока событий приведен на рис. 2, где обозначено Tj — интервал между событиями (случайная величина); TH — время наблюдения, Tс — момент совершения события.

Рис. 2. Схема потока событий

Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле.

где N — число событий, произошедших за время наблюдения TH.

Если Tj=const или определено какой-либо формулой Tj=f (Tj-1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.

Случайные потоки бывают:

• — ординарными, когда вероятность одновременного появления 2-х и более событий равна нулю;
• — стационарными, когда частота появления событий постоянная;
• — без последействия, когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени? t, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события Р_>1 (t, ?t), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени? t попадает ровно одно событие Р₁ (t, ?t), т. е. Р₁ (t, ?t) >> Р_>1(t, ?t).

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени ф зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0t взят этот участок.

Среднее число событий, наступающих на участке времени? t в единицу времени, составит.

Рассмотрим предел этого выражения при? t>0. Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий.