Заключение. 
Аттракторы: понятие и виды

Развитие теории динамических систем во второй половине ХХ века привело к грандиозным последствиям не только в теоретической физике и математике, но и в естествознании в целом — открытию динамического хаоса и связанными с ним свойствами. Оказалось, что многие нелинейные системы, несмотря на полную детерминированность, т. е. отсутствие шумов, стохастических возмущений и т. п., могут демонстрировать поведение, подобное случайным процессам. Тем самым возникающая статистика поведения систем определяется исключительно особенностями динамики. И хотя предпосылки такой идеологии наметились еще более ста лет назад в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре, основные открытия и осмысление этого явления были сделаны в 60−80-х годах прошлого века. Необходимо отметить, что для изучения хаотических систем классические аналитические средства, такие, например, как ряды теории возмущений, асимптотические методы и т. п., оказались непригодными. Так, подкову Смейла, с которой в известном смысле началось современное исследование хаотических явлений, невозможно описать соотношениями в математическом стиле XIX века. Для построения и анализа таких конструкций потребовалось разработать совершенно новые методы, развитие которых и привело к крупным открытиям в теории динамических систем. Основной целью данного лекционного курса является описание различных подходов, используемых в настоящее время при анализе нелинейных хаотических динамических систем. Естественно, что целые направления остались за рамками нашего рассмотрения. В частности мы практически не затронули такие обширные разделы, как сценарии рождения хаоса, динамика одномерных отображений, пространственно-временной хаос и турбулентность, голоморфная динамика и фрактальные множества и др. Однако некоторые из них представлены в работах, учебных пособиях и монографиях, приведенных в списке литературы. Главные достижения теории хаотических динамических систем можно кратко резюмировать следующим образом. Доказано, что даже очень простые системы (как, например, система Лоренца) могут проявлять случайные свойства. Это в корне поменяло 10 Заключение 70 представление о случайности, которая, как предполагалось, может возникать только в системах с большим числом степеней свободы. Посредством анализа бильярдных задач был достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана. На основе теории хаотических динамических систем удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения. Доказано, что хаос может рождаться универсальными путями, независимо от природы системы. Это выдающееся открытие, подтвержденное также и экспериментально. Оно, в частности, привело к созданию метода ренормгруппы в теории динамических систем. Найдено, что случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами, которые влияют на рассматриваемые системы. При этом посредством исследования временных рядов наблюдаемых всегда можно отличить случайное, стохастическое поведение систем от детерминированного хаоса и тем самым установить конечномерность изучаемого процесса. Разработанные методы анализа временных рядов позволили практически использовать результаты теории динамических систем для расчета таких характеристик, как энтропия, показатели Ляпунова и размерность. Это дало возможность, используя только экспериментально полученные данные, определять горизонт прогноза рассматриваемого процесса и в определенных случаях предсказывать дальнейшую эволюцию системы. Данное направление в настоящее время приобретает все большую популярность в таких чисто прикладных областях, как финансовый анализ и медицина. Наконец, нельзя не сказать и об эстетической привлекательности полученных результатов. Благодаря публикациям книг Б. Мандельброта, Х.-О.Пайтгена и П. Рихтера компьютерные изображения фрактальных множеств, странных аттракторов и их областей притяжения открыли художественную сторону теории хаоса. Как заметил Д. Рюэль, это область исследования, в которой будут открыты новые гармонии.