Математическое описание. 
Лабораторный стенд "Управляемая связанная система баков"

Математическое описание проводилось для одиночного бака, двух связанных баков (сообщающихся сосудов) с влиянием уровня жидкости в одном баке на уровень в другом. Так же математическое описание разработано для случаев, когда на выходные отверстия надеты насадки, и выходные отверстия без насадков.

Математическое описание одиночного сосуда

Таблица 2.1 — Перечень параметров объекта.

Рассмотрим одиночный бак без насадка (рис. 2.1), в дальнейшем составим уравнение для этого же бака с насадком.

Qвхрасход воды на входе сосуда, м3/с;

Qвых — расход воды на выходе из сосуда, м3/с;

h — уровень воды в сосуде, м;

hТвысота питающей трубки относительно дна бака, м;

z1 — расстояние до центра массы воды в баке, м;

z2 — расстояние до центра массы воды в выходной трубке, м;

A — площадь поперечного сечения сосуда, м2;

a — площадь поперечного сечения выходной трубки, м2;

— скорость потока жидкости, поступающего в бак из насоса, м/с;

— вектор средней скорости истечения жидкости через сечение1−1(первая цифра в индексе означает номер бака, вторая — сечение), м/с;

— вектор средней скорости истечения жидкости через выпускное отверстие бака, м/с;

dl1 — перемещение жидкости в баке за время dt, м;

Рис. 2.1. Одиночный бак

dl2 — перемещение жидкости в выходной трубке за время dt, м;

В любой момент времени при уровне h, объем воды в сосуде равен:

Если, то V — постоянный, h — постоянный, следовательно,.

.

Если, то V — изменяется, h — изменяется, имеем скорость изменения объема воды в сосуде:

.

.

Из уравнения имеем:

.

Рассмотрим физику процесса истечения жидкости через выходную трубку (рис. 2.1). Будем рассматривать ламинарное или стационарное течение жидкости (при таком режиме течения жидкости векторы скорости в каждой точке сечения параллельны друг другу).При турбулентном течении усложняется физика процесса, что приведет к усложнению описания и соответственно усложнению модели. Так как в работе стенда используется вода, то при истечении ее возможны и турбулентные режимы.

Вывод уравнения Бернулли Выделим в сосуде, содержащем идеальную (несжимаемую) жидкость, участки ограниченные сечениями 1−1 2−2 и 1'-1' 2'-2'. Полная энергия малого элемента жидкости равна:

и называются дифференциалами энергии всей жидкостидифференциал кинетической энергии жидкости, дифференциал потенциальной энергии жидкости.

Сверху на объем жидкости в баке действует сила, а снизу (минус, потому что сила направлена в противоположную сторону).

Здесь Р1и Р2 — статическое давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого объема жидкости.

Статическое давление P (Па), действующее в покоящейся жидкости, складывается из внешнего равномерного давления на жидкость P0 (например, замеренное барометром атмосферное давление) и давления собственного веса жидкости (весового давления). Таким образом:

.

где z -расстояние от выбранного горизонтального уровня (нулевого уровня) до центра тяжести объёма жидкости (в нашем случаеz1 =),.

— равномерное внешнее давление на столб жидкости в сосуде.

В свою очередь формула для верхней границы следующая:

.

где коэффициент демпфирования, который приводит точечное влияние входящей струи к распределенному по площади и по объему значению, — атмосферное давление, — давление струи жидкости, истекающей неравномерно на поверхность воды, которое равняется сумме скоростного (давление жидкости, обусловленное скоростью потока) и высотного (величина давления жидкости, выражаемая высотой столба жидкости над выбранным уровнем отсчёта) напора жидкости, умноженных на величину :

.

где — расстояние от нулевого уровня до трубки, — скорость потока жидкости, втекающего в бак, — плотность жидкости, — текущая высота столба жидкости.

Значение для нижней границыравно — давление среды, в которую вытекает жидкость. В нашем случае:

P02=Pа.

Пусть верхняя граница жидкости сдвинулась на dl1, а нижняя на dl2 за время dt.

Условие несжимаемости жидкости:

.

Объёмы, как видно, бесконечно малые, дифференциальные. Их самих можно рассматривать как дифференциалы объёма всего большого элемента.

При перемещении жидкости c расходом Qвых от сечения 1−1 к сечению 2'-2' её полная энергия во втором, конечном сечении всегда будет меньше, чем в начальном сечении. Это связано с тем, что в реальной жизни существуют силы, которые препятствуют движению жидкости. Учтем эти потери в кинетической энергии. Введем понятие коэффициента Кориолиса (б), учитывающий неравномерность распределения скоростей и равный отношению действительной кинетической энергии к кинетической энергии, определяемой по средней скорости. Также введем понятие коэффициента местного сопротивления отверстия (о), который учитывает внезапное изменение формы потока, скорости или направления ее движения. Тогда дифференциал кинетической энергии будет равен:

.

Так как течение стационарное, то в каждой точке со временем энергия не меняется. Поэтому работа сил равна изменению энергии, равному, в свою очередь, энергии нижнего элемента минус энергия верхнего:

.

Учитывая формулу сократим на дифференциал объема:

.

Группируя слагаемые и подставляя формулу потенциальной энергии, получаем закон Бернулли:

.

Минус перед последним слагаемым получается из-за того что нулевой уровень находится выше, чем центр массы второго элемента Распишем P1 и P2, используя формулы:

.

И приведем подобные:

.

На пути движения от начального сечения до конечного форма поперечных сечений потока может меняться самым причудливым образом. Однако, тот объем жидкости, который прошел за время t через любое сечение, должен остаться неизменным (в противном случае между сечениями изменялось бы количество проходящей жидкости, и течение было бы нестационарным). Стационарное течение жидкости — это такое течение, при котором скорость жидкости в каждой данной точке остается постоянной как по величине, так и по направлению. Для такого режима форма и расположение линий течения со временем не изменяются. Таким образом:

.

.

Подставим полученное выражение скорости в уравнение и выразим скорость истечения жидкости из бака (:

.

.

=,.

.

.

.

.

В уравнении величинаназывается коэффициентом по скорости. Таким образом, скорость истечения жидкости из бака, равна:

.

Уравнение приняло вид закона Торричелли. На основании уравнения запишем расход на выходе:

.

.

где м1 = 1.33 — коэффициент расхода отверстия первого бака равен отношению коэффициента расхода насадка и коэффициента расхода отверстия в дне бака.

Так как насадки и отверстия у баков идентичные, то (.

считается по следующей формуле:

.

где — скорость потока жидкости, втекающей в бак, находится в линейной зависимости от управляющего напряжения насоса вблизи рабочей области (). Имеет различные коэффициенты для верхнего и нижнего баков.

Окончательно уравнение примет вид:

Уравнение отражает скорость изменения уровня воды h в одиночном баке без насадка.

Для составления уравнения, характеризующего скорость изменения воды в баке с насадком, необходимо в уравнении изменить диаметр отверстия трубки на диаметр отверстия насадка. Тогда уравнение примет следующий вид: