Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби.

Например, множество дробей — это один класс, множество дробей — это другой класс и т. д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби — это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение. Положительным рациональным числом называется общее свойство класса эквивалентности равных между собой дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби — мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: — это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение. Если положительное рациональное число, а представлено дробью, а положительное рациональное число bдругой дробью, то, а = b тогда и только тогда, когда mq = пр.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями.

Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью. Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель т и знаменатель п разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами. Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка x выражается дробью, а длина отрезка у — дробью, и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z т + р раз, т. е. длина отрезка z выражается дробью.

Поэтому полагают, что: Определение. Если положительное рациональное число, а представлено дробью, а положительное рациональное число b — дробью, то их суммой называется число, а + b, которое представляется дробью.

Таким образом, по определению: Можно доказать, что при замене дробей представляющих числа, а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа, а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило.

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно.

Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа, а и b дробями. Тогда сумма, а + b представляется дробью, а сумма b + адробью Так как т, р, п — натуральные числа, то т + р = р + т и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка x выражается дробью при единице длины e, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы e1, и выражается дробью. Как найти число, которым будет представлена длина отрезка x, если измерить ее при помощи единицы длины e1?

Так как следует, что q· e = р· e1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе — на m. Тогда (nq)x = (mq)e и (mq)e = (тр)e1, откуда (nq)x = (mp)e1.

Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины e выражается дробью, а значит,, т. е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное число, а представлено дробью, а положительное рациональное число b — дробью, то их произведением называется число ab, которое представляется дробью.

Таким образом, по определению, Можно доказать, что при замене дробей, представляющих числа, а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел, а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение. Пусть, а и b — положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что, а = b + с.

В этом же случае считают, что число, а больше числа b. Пишут b b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

• 1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т. е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.
• 2. Если рациональные числа, а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то, а < b в том и только в том случае, когда т < р.
• 3. Если рациональные числа, а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то, а < b в том и только в том случае, когда mq < пр.
• 4. Во множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа
• 5. Между любыми двумя различными числами, а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
• 6. Во множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т. е. такая операция, которая удовлетворяет условию: а — b = с тогда и только тогда, когда, а = b + с.

Разность, а — b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность, а — b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями.

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т. е, это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда a = bс.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями: Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.