Бесконечные цепные дроби

Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.

Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь.

=() (1).

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.

Для иррационального числа указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.

Выражение.

(где ,) (2).

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (), а числа — ее элементами или неполными частными.

Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части — процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа .

Пусть. Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть -3, которая меньше 1, представим в виде, где .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для видно, что =3+. Поэтому, вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае — смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь записывается в виде, а смешанная периодическая в виде .

Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k-го шага, будем иметь:

так что.

.

Числа называются остаточными числами порядка k разложения. В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа .

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент. Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

причем ;

откуда следует несократимость подходящих дробей.

;

.

Сравним теперь подходящую дробь и кусок разложения до остаточного числа. Имеем.

.

откуда видно, что вычисление по формально производится таким же образом, как вычисление по с тем лишь отличием, что в первом случае заменяется на, а во втором заменяется на. Поэтому на основании формулы.

можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения.

. (5).

По этой причине мы пишем также, хотя не является здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения .

Теорема: Действительное число всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Из формулы (5) следует.

Но, , так что.

() и () имеют одинаковый знак, а это значит, что находится между и ;

то есть ближе к, чем к .

Теорема доказана.

Так как, то, и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка — убывающую (в случае иррационального указанные последовательности являются бесконечными), то есть Учитывая то, что при, вследствие чего.

.

переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального сегменты, , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей, , … и, , …. Но так как принадлежит всем сегментам последовательности, то и совпадает с указанной точкой, так что .

Итак, мы имеем следующий важный результат:

бесконечная последовательность подходящих дробей, которая возникает при разложении иррационального, сходится к, колеблясь около него. Или: иррациональное действительное равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).