Проблемность обучения младших школьников главное условие формирования их учебно-исследовательских умений в начальной школе

Исходя из задачного подхода к организации учебно-исследовательской деятельности, как было отмечено выше, одним из средств формирования учебно-исследовательских умений младших школьников при обучении математике является выполнение проблемно-исследовательских заданий.

Под проблемно-исследовательским заданием будем понимать такое теоретическое или практическое задание, содержащее в себе некоторое противоречие. Проблемно-исследовательское задание характеризуется следующими чертами:

• — задание должно основываться на знаниях и умениях, которыми владеют учащиеся;
• — задание должно быть нацелено на открытие нового знания, что составляет общую закономерность подлежащую усвоению, общий способ действия или некоторые общие условия выполнения действия;
• — задания должно вызвать y учащихся потребность в усваиваемом знании, а ее выполнение должно привести к пониманию нового знания и его правильному использованию;
• — задание должно способствовать формированию исследовательских умений у учащихся.

Используя систему проблемно-исследовательских заданий в учебном процессе, можно способствовать порождению и выполнению цикла учебного исследования: — мотивация учебно-исследовательской деятельности, возникновение вопроса с формулировкой проблемы, выдвижение проверка гипотезы и обоснование найденного решения.

Включение в урок математики проблемно-исследовательских заданий будет способствовать не только формированию исследовательских умений у младших школьников, но и развитие самостоятельности мышления, творчества детей, а также их познавательной активности.

Ниже приведем фрагмент урока по использованию проблемно-исследовательских заданий при знакомстве младших школьников с понятием «Круг» и «Окружность».

На доске нарисованы различные фигуры (см. рис. 1).

Рис. 1.

Вопросы и задания ученикам:

Учит.: Какие из нарисованных фигур можно назвать линиями?

Уч.: Все.

Учит.: Уточните, какие из линий являются ломаными, а какие — кривыми?

Уч.: 2, 4 — ломаные линии; 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 — кривые.

Учит.: Разделите кривые линии на две группы: замкнутые и незамкнутые. Какие фигуры окажутся в первой группе, а какие — во второй?

Уч.: Замкнутые кривые линии — 3, 6, 7, 8; незамкнутые — 1, 5, 9.

Учит.: В фигурах 3, 6, 8, которые являются замкнутыми кривыми линиями, расставлены точки. Можно ли утверждать, что расстояния от точки О до точек А, В, С, D в каждой фигуре одинаковые?

Уч.: В фигуре 6 расстояния от точки О до точек А, В, С, D не одинаковые, а в фигурах 3 и 8 — одинаковые.

К доске приглашаются три ученика, которым предстоит провести исследование и убедить класс в правильности ответа.

Остальные ученики класса находят сходство и отличия фигуры 6 и 8. (Сходство: замкнутые кривые линии имеют внутри точку, отмеченную буквой О, на самих замкнутых кривых линиях отмечены точки А, В, С, D. Отличия: расстояния от точки О до точек А, В, С, D в фигуре 6 — разные, в фигуре 8 — одинаковые.).

Учит.: Назовем фигуру 8 — окружностью. Как вы думаете, почему фигура 6 не является окружностью?

Уч.: Потому что в фигуре 8 расстояния от точки О до точек А, В, С, D, а также все остальные ее точки одинаково удалены от центра О, а в фигуре 6 — не одинаково Далее ведется такая же работа по определению существенных признаков окружности.

Уч.: Это кривая замкнутая линия; расстояния от точки О, называемой центром, до всех точек на окружности одинаковые.

Учит.: Можно ли назвать окружностями фигуры 5, 7, 9?

Уч.: Нет. Фигуры 9 и 5 не являются замкнутыми кривыми, а фигура 7 не имеет центра, расстояния от которого до всех точек фигуры были бы одинаковыми.

Учит.: Чем отличаются окружности 3 и 8?

Уч.: Расстоянием от точки О до точек на окружности.

Учит.: Если мы отметим любую другую точку на окружности 8 и измерим расстояние от точки О — центра окружности — до данной точки, оно будет одинаковым с расстоянием от точки О до точек А, В, С, D?

Уч.: Да. Можем убедиться (циркулем).

Учит.: Итак расстояние от центра окружности О до любой точки на окружности называется радиусом и обычно обозначается латинской буквой R или r.

Учит.: Используя циркуль, постройте в тетрадях две окружности с одинаковым радиусом, равным 2 см. Закрасьте ту часть тетрадного листка, которая ограничена первой окружностью (рис 2). Далее учитель вывешивает на доске большой лист бумаги с рисунком. (Рис.2).

Учит.: Как бы вы назвали эти рисунки?

Уч.: Круг и окружность.

Рис. 2.

Учит.: Как вы думаете, чем можно объяснить, что первая фигура называется кругом, а не окружностью?

Уч.: Первая фигура закрашена, т. е. ей принадлежат все точки, находящиеся внутри этой окружности и на ней, и она называется кругом.

Учит.: Послушайте стихотворение и постарайтесь разрешить спор об отличиях между кругом и окружностью:

Встретились окружность с кругом,.

Спорить стали вот о чем:

Кто главнее всех в округе?

Кто сначала, кто потом?

Круг сказал, что он главнее:

«Я большой и, посмотри, Весь заполнен в середине, И по краю, и внутри».

Тут воскликнула окружность:

«Жить не сможешь без меня!

Я не просто загогулька ;

А граница я твоя!".

Долго спорили фигуры,.

Кто из них кого главней, И соседей опросили, И знакомых и друзей.

Но закончить этот спор Не смогли и до сих пор, В чью же пользу и без ссор Разрешится этот спор?

(Ученики высказывают свои мнения о том, какую фигуру они считают «главнее».).

На последующих этапах этого урока (закрепление нового знания, включении в систему новых знаний и решение задач на закрепление, организация самоконтроля и самооценки) можно предложить детям решить и такие поблемно-исследовательские задания:

Задание 1. Можно ли провести окружность (см. рис. 3) с центром в точке О, так чтобы она проходила через точки А, В, С, D.

Рис 3.

Задание 2. Начерти окружность и прямую. Как они могут располагаться относительно друг друга? Начерти различные случаи.

Задание 3. Начерти две окружности так, чтобы у них было: а) две точки пересечения; б) одна точка пересечения; в) 0 точек пересечения (не пересекались).

Задание 4. Нарисуй три круга так, чтобы каждый из них имел общую часть с остальными.

Задание 5. Можно ли из прямоугольного листа фанеры длиной 6 дм и шириной 4 дм вырезать круг радиусом: а) 3 дм; б) 2 дм; в) 1 дм?

Задание 6. Все вершины прямоугольника лежат на окружности. Придумайте способ нахождения центра окружности.

Задание 7. Площадь, какой фигуры больше: круга, радиус которого 3 см или квадрата, диагональ которого 6 см? (Чтобы ответить на вопрос, начерти сперва квадрат и его диагонали. Потом построй окружность.

На данном уроке шла работа по формированию у учащихся таких исследовательских умений как: видеть проблему; задавать вопросы; выдвигать гипотезы; давать определение понятием; классифицировать; наблюдать; делать выводы и умозаключения, доказывать и защищать идеи. Для формирования этих умений имеет значение, не только какие проблемно-исследовательские задания были выбраны учителем, но и как организуется деятельность учащихся для их решения.

Ниже приведем еще один фрагмент урока по организации учебно-исследовательской деятельности младших школьников, где используется работа в группах при знакомстве учеников с математическими понятиями: «равносторонний треугольник», «равнобедренный треугольник», «разносторонний треугольник».

Учитель предлагает детям игру «Придумай имя треугольнику». Учащиеся каждого ряда получают на парту по одному треугольнику определенного вида. Например: первый ряд — разносторонние треугольники, второй ряд — равнобедренные, третий ряд — равносторонние. Притом образцы всех трех видов этих треугольников будут помещены и на доске. Треугольники одного ряда отличаются чем-то от треугольников другого ряда. Ученикам каждого ряда нужно найти то основное свойство и основываясь на него придумать имя этому треугольнику, а не буквенное обозначение.

Обсуждая в группах, учащиеся могут взять за основу длину сторон. Например:

I ряд — может назвать своих треугольников разные стороны;

II ряд — две равные стороны;

III ряд — все равные стороны.

После этого учитель может предложить детям найти название этих треугольников, которыми сейчас пользуются в математике, используя учебник.

Следующее задание направлено на формирование умения дать определение понятию. Каждый ученик может нарисовать в тетрадях по одному треугольнику каждого вида и написать его определение.

Очередное задание должно быть на классификацию треугольников, выявить признаки.

Для этого дается следующее задание.

Задание № 8.

На рис. 5^-а имеется множество треугольников. Установи сколько треугольников равнобедренных и сколько равносторонних, записав рядом с рисунком его название. Докажи, что ты прав.

Рис. 4.

Определить каждое новое понятие входящее в его содержание.

На этом же уроке полезно сделать с учащимися обобщение, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, предложив рассмотреть рисунок 5 и указать только равнобедренные треугольники.

Рис. 5.

Далее более подробно опишем диалог между учителем и учениками класса:

Сколько на рисунке разносторонних треугольников?

На рисунке два разносторонних треугольника.

Назовите номера этих разносторонних треугольников.

Это треугольники № 1 и № 5.

Сколько на рисунке равносторонних треугольников?

Один.

Какой номер у этого треугольника?

Этот треугольник под номером 2.

Сколько на рисунке равнобедренных треугольников?

На рисунке два равнобедренных треугольника.

Назовите их номера.

Это треугольники № 3 и № 4.

— А Оля утверждает, что на рисунке 5 три равнобедренных треугольников.

Права ли Оля?.

Не права.

Скажите пожалуйста, какой треугольник называется равнобедренным?

— Равнобедренным называется такой треугольник у которого две стороны равны.

Правильно. А треугольник № 2 имеет две равные стороны.

Да, имеет.

Можно его назвать равнобедренным.

Можно.

— Если у треугольника три стороны равны, то две равные стороны есть?

Да. есть.

— Можно ли любой равносторонний треугольнк назвать равнобедренным?

Да, можно.

— Давайте еще раз сформулируем этот вывод.

Формирование у младших школьников таких учебно-исследовательских умений как умение давать определение математическим понятиям, умения делать обобщения зависит в первую очередь от приема раскрытия содержания математических понятий, от уровня их изучения и от педагогического мастерства учителя.

Использовать на уроках математики в начальной школе проблемно-исследовательские задания целесообразно не только при знакомстве младших школьников с новыми математическими понятиями, но и при усвоение конкретного смысла арифметических действий, приема или алгоритма выполнения определенного арифметического действия с числами, при знакомстве с различными правилами, закономерностями и др.

Например, при знакомстве младших школьников с приемом сложения двух однозначных чисел с переходом в другой разряд, можно построить урок, предлагая учащимся следующие проблемно-исследовательские задания.

На этапе мотивации учебной деятельности и при актуализации знаний все задания можно предлагать для групповой работы.

Задание 9. Разгадай правило, по которому записаны выражения в столбик. Составь свой столбик.

• 5 + 3 6 + 2
• 5 + 4 7 + 2
• 5 + 5 8 + 2
• 5 + 6 9 + 2

Задание 10. Почему нижеследующие 12 примеров написаны в три столбика? Правило вычисления какой суммы раскрывается в каждом столбике?

• 8 + 3 7 + 3 + 1 6 + 4 + 1
• 8 + 2 + 1 7 + 1 + 3 6 + 5
• 8 + 1 + 2 7 + 4 5 + 6
• 2 + 1 + 8 4 + 7 1+ 4 + 6

Задание 11. Чем похожи и чем отличаются выражения в столбиках?

• 8 + 6 6 + 5 7 + 8
• 8 + 2 + 4 6 + 4 + 1 7 + 3 + 5

Задание 12. Найди значение второго выражения, пользуясь первой. Составь еще один столбик на такое же правило вычисления суммы двух чисел.

• 9 + 1 8 + 2 7 + 3
• 9 + 2 8 + 3 7 + 4

На этапе открытие нового знания полезно предложить ученикам самостоятельную работу со следующим содержанием:

Задание 13. Вычислите значения выражений.

• 1 + 3 9 + 1 10 + 3 9 + 4
• 2 + 1 8 + 2 10 + 1 8 + 3
• 3 + 2 7 + 3 10 + 2 7 + 5

При проверке самостоятельной работы особое внимание уделяем вычисления значения выражений из последнего столбика, т.к. такого рода выражений ранее не встречали.

После обсуждения предлагаем детям внимательно просмотреть суммы из первого ряда.

(1 + 3 = 4; 9 + 1 = 10; 10 + 3 = 13).

и подумать, как они помогут в нахождении значения суммы 9 + 4. Потом аналогично анализируем второй и третий ряд.

Совместно с учащимися делаем вывод, что для того чтобы сложить два однозначных числа, когда сумма больше 10, нужно второе слагаемое разложить на сумму удобных слагаемых, чтобы первое число из суммы с первым числом из разложения второго числа дало 10, а потом к 10 прибавить оставшееся число из разложения второго слагаемого.

На этапе закрепления нового знания, включение в систему новых знаний и задач на повторение полезно предложить детям не только стандартные задания, обеспечивающие деятельность учащихся по образцу, но и задания способствующие формированию учебно-исследовательских умений.

Например:

Задание 14. Вставь числа в окошки, чтобы получить верное равенство.

• 8 + + 3 = 12 7 + + 4 = 14
• 8 + = 12 7 + = 14

Составь свой столбик Задание 15. Найди закономерность и в место? напиши недостающее выражение и равенство.

• 7 12 13
• 7 + 3 + 2 ?
• 7 + 5=12 ?

Задание 16. Найди значение второго выражения из столбика, пользуясь первым выражением.

• 8 + 3 9 + 5 7 + 4
• 8 + 4 9 + 6 7 + 5

Составь свой столбик.

Задание 17. Запиши сумму двух чисел, значение которых равно 12.

Такого рода задания на составление математических объектов не только способствуют формирования учебно-исследовательских умений, но и повышают интерес учащихся к математике, их мотивацию к учению, обеспечивают эмоциональный подъем, снижают уровень тревожности, облегчают процесс запоминания материала.

При самостоятельном решении учащимися системы проблемноисследовательских заданий обеспечивается: 1) усвоение новых математических знаний; 2) применение полученных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни; 3) формирование учебно-исследовательских умений; 4) овладение характерными чертами творческой деятельности.

Для нашего исследования важнейшей задачей был отбор и самостоятельное составление тех проблемно-исследовательских заданий, которые требовали от учащихся учебно-исследовательской деятельности. В зависимости от основных этапов учебного исследования (мотивация учебно-исследовательской деятельности; формулирование проблемы; сбор, систематизация и анализ фактического материала; выдвижение гипотез; проверка гипотез) задания выполняют различные функции: на первом этапе — мотивационные, на втором — задания направлены на формулирование проблемы и раскрытие деятельности подлежащей усвоению; на трех остальных этапах задания служат средством этой деятельности и формированию учебно-исследовательских умений.

Проблемно-исследовательские задания, составленные нами, направлены на формирование у младших школьников следующих учебно-исследовательских умений:

• — умение видеть проблему;
• — умение задавать вопросы;
• — умение выдвигать гипотезы;
• -умения строить суждения и умозаключения;
• — умение давать определение понятиям;
• -умение рассмотреть данный математический объект с точки зрения различных понятий;
• -умение использовать одно математическое суждение в различных заданиях;
• — умение классифицировать объекты;
• — умение перевести предметные действия на язык математики;
• — умение находить закономерности;
• — умение проводить обобщения и делать выводы;
• — умение доказывать и защищать свои выводы;
• -умение конструировать математические объекты;
• — умение проводить анализ наблюдаемых объектов и выполнять описание наблюдений;
• -умение использовать прием аналогии и обобщения для выделения существенных признаков математических объектов;

— умение проводить эксперименты;

• — умение структурировать материал;
• — умение работать с текстом и др.

Работу по формирования выше перечисленных умений нужно начинать с первого класса. Для этого нужно построить процесс обучения математике таким образом, чтобы создавать следующую основу для исследовательской деятельности учащихся:

— методологическую (усвоение структуры исследовательской деятельности и отдельных исследовательских умений и методов, общих и специальных для предмета математика);

— общую логическую (работа над общими умственными и логическими умениями);

— содержательную (овладение математическими знаниями и умениями);

— субъектную (накопление личного опыта осуществления исследовательской деятельности).

На такой основе легче перейти к осуществлению исследовательской деятельности учащихся основной школы.

С первых уроков математики в первом классе особое внимание нужно уделять созданию общей логической базы, проводя работу по формированию такого умения как умение классифицировать объекты. Основа этого действия составляют умения выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие.

Умения выполнять классификацию формируются у первоклассников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Н. Б. Истомина [6, с. 37] приводит пример такого задания, при выполнении которого дети не только упражняются в счете, но и формируют умения выделять предметы, обладающие определенным признаком.

Детям предлагается следующий рисунок (рис.6)., сопровождая вопросами:

Рис. 6.

Сколько больших кругов на рисунке? Маленьких? Синих? Красных? Больших красных? Маленьких синих?

Выполняя задание, учащиеся сначала выделяют предметы, обладающие названным признаком, затем упражняются в счете.

Задания, которые выполняют учащиеся на первых уроках математики, в основном имеют такую формулировку: «Убери (назови) „лишний“ предмет», «Нарисуй предметы такого же цвета (формы, размера)», «Дай название группе предметов» и другие.

В первом классе дети выполняют и различные задания требующие разделение предметов на группы, в которых основание классификации указывает учитель. Такие задания подготавливают младших школьников к выполнению проблемно-исследовательских заданий, где основание для классификации выделяют сами ученики.

Например. Задание 18. Заданные числа раздели на 2 и 3 группы самостоятельно выбрав признак классификации:

11, 40, 3, 19, 10, 16, 4, 13, 50, 6, 8.

Для формирования умения классифицировать объекты можно предложить детям различные проблемно-исследовательские задания: на нахождение общего признака математических объектов; на нахождения сходства или различия между математическими объектами; на разделение объектов (фигур), чисел, выражений, геометрических фигур; на продолжение числового ряда или ряда фигур; на поиск недостающей в ряду фигуры и другие. Ниже приведем пример некоторых таких заданий.

Задание 19. Нарисуй четвертую геометрическую фигуру, используя соответствующую закономерность.

Найди два разных варианта решения задания.

Задание 20. Увеличивай число 13 на 1, на 2, на 3, на 4. Наблюдай, какая цифра будет изменяться. Запиши числовые равенства. Какие еще числа можно прибавить к данному числу, чтобы изменилась только цифра разряда единиц?

Задание 21. Сравни ряды чисел. Найди лишний ряд.

• 6, 10, 14, 18.
• 5, 9, 13, 17.
• 3, 5, 7, 9.
• 7, 11, 15, 19.

Задание 22. Найди закономерность каждого ряда чисел и продолжи их, записав еще три числа.

а) 2, 4, 6, 8,…, …, …; б)1, 4, 7, 10,… ,… ,…; в)21, 17, 13, …,… ,…

А.В. Хуторской [14] утверждает что учебно-исследовательские умения учащихся начальных классов в процессе обучения математике формируются при составлении собственных числовых рядов, числовых таблиц, выявлении связей чисел и геометрических фигур, обнаружении математических закономерностей в окружающих явлениях и календарях, придумывании и применении собственных мер измерения и др. Задания такого рода чаще всего используются учителями на уроке математики при воспроизведении знаний. Эти задания мы разделили на три группы:

• а) наглядно-образные, предусматривающие составление опорного сигнала в форме символа, схемы, таблицы;
• б) научные, нацеленные на формулировку вопроса, темы;
• в) художественные — на создание художественного образа в форме стихотворения, загадки, метафоры.

Остановимся более подробно на такие заданиях, как формулировки вопроса. Психологи считают, что вопрос занимает центральное место в структуре процесса мышления. Вопрос является первым, исходным звеном познавательного процесса, первым признаком начинающейся работы мысли и зарождающегося понимания.

Н.Б. Шумакова в своей работе «Роль вопроса в структуре мышления» [15] выделяет следующие типы вопросов:

• 1. Устанавливающие вопросы, направленные на выделение объекта. Наиболее распространенной формой выражения таких вопросов можно считать вопросы в форме кто?, что?.
• 2. Определительные вопросы. Они направлены на определение временных, пространственных, количественных характеристик и свойств объекта. Наиболее распространенная форма выражения: где? когда?, сколько?, как?, какой?, с какой целью? и т. п.
• 3. Причинные вопросы. Эти вопросы связаны с познанием объекта в его многосторонних связях и отношениях. Они направлены на выявление происхождения, сущности, причин, связей и смысла явления: почему?, как связаны? и т. п.
• 4. Вопросы-гипотезы. Эти вопросы связаны с предположениями, с их истинностью: «Может быть, это???» И т. п.

Существуют и другие классификации вопросов. В рамках нашего подхода актуально деление вопросов на репродуктивные и проблемные. Ответ на репродуктивный вопрос опирается на известные учащемуся знания, в то время как проблемный вопрос способствует движению мысли от незнания к знанию, от знания неполного и неточного к знанию более полному и точному. Проблемные вопросы являются неотъемлемыми компонентами самостоятельного поиска.

Мы считаем, что особое внимание при обучении математике младших школьников нужно уделять особое внимание умению задавать вопросы. Для формирования умения задавать вопросы и в особенности проблемных вопросов можно использовать различные задания и дидактические игры. Например:

Задание 23. «Почему число 4 — четное?».

Учащиеся задают друг другу вопросы которые начинаются со словом «почему.» (Почему 1 · а = а ?).

Задание 24. «Да-нетка».

Учитель загадывает (или записывает на листочке) какой-то математический объект (геометрическую фигуру, число, числовое выражение, именованное число и др.). Ученики пытаются найти ответ, задавая вопросы на которых учитель может ответить только словами: «да» или «нет».

Задание 25. «Что изменилось бы, если…».

Используя какое-то правило или обобщение (Например, «Если в сумме двух чисел одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе оставить без изменения, то и значение суммы увеличится на столько же единиц») нужно составить вопрос, который начинался со словами «Что изменилось бы, если…».

Умение видеть проблему является одно из основных умений в организации учебно-исследовательской деятельности младших школьников при обучении математике. Одним из основных звеньев технологии проблемного обучения математике в начальной школе является учебная проблема, которая предполагает следующие шаги: проблемное задание проблемная ситуация проблема модель поиска решений (выдвижение гипотез) решение (проверка гипотез).

Процесс постановки проблемы на уроках математики в начальных классах можно осуществлять тремя путями: I путь — это проблемная ситуация, которая побуждает диалог; II путь — диалог, который подводит к проблеме; III путь — сообщение темы с указанием приема для ее актуализации. Способ предъявления проблемы имеет для ученика определяющее значение.

При выборе пути постановки проблемы нужно учитывать тип вводимого знания: понятие это или плавило, закономерность или отношение.

3 класс.

Введение

понятия «деление с остатком».

Ученикам предлагается практическая задача.

Задание 26. Можно ли раздать 13 тетрадей ученикам по 2 тетради каждому? Сколько учеников получат по 2 тетради? Все ли тетради будут розданы?

Возникает проблемная ситуация: шестерым дать по 2 тетради будет мало, т.к. 2 · 6 = 12, а 12 13.

Ученики отвечают, что 13 не делится на 2.

Учитель берет заранее подготовленные 13 тетрадей и считает их вместе с учениками. Потом раздает 6 ученикам по 2 тетради и y него остается 1 тетрадь.

Ученики, которые получили по 2 тетради по просьбе учителя встают.

Учитель: Сколько y меня было тетрадей?

Ученики: Было 13 тетрадей.

Учитель: Скольким ученикам я раздал по 2 тетради?

Ученики: 6 ученикам.

Учитель: А сколько тетрадей y меня осталось?

Ученики: 1 тетрадь.

На доске нарисовано 13 квадратиков, изображающих 13 тетрадей. Учитель просит объяснить на рисунке, как он выполнил это деление. Ученик, который был приглашен к доске, отделяет отрезками группы по 2 квадрата. На доске появляется следующий рисунок (рис.7).

Рис. 7.

Учитель: Сколько квадратов нарисовано?

Ученики: Нарисовано 13 квадратов.

Учитель: Можно ли разделить 13 квадратов группами по 2 квадрата так, чтобы квадратов не осталось.

Ученики: Нельзя 13 разделить по 2, чтобы не осталось квадратов.

Учитель: А сколько групп по 2 получилось при делении 13 квадратов и сколько еще осталось квадратов?

Ученики: При делении 13 на 2 получили 6 групп и еще 1 квадрат остался.

Учитель: Значит при делении 13 на 2 в частном получаем 6 и в остатке — 1. Как мы запишем такое деление?

Ученики предлагают свои варианты записи данных. Если никто из учеников не предложит верную запись, то учитель показывает ее: 13:2 = 6 (ост.1) или поправляет запись, предложенную учениками, объясняя, почему так пишется, а также два варианта чтения.

Учитель: Как бы вы назвали тему сегодняшнего урока?

Учитель таким образом побудил учеников к формулировке учебной проблемы, которая совпадает с темой урока. Далее учитель предлагает следующее задание.

Задание 27. Разделить 12 тетрадей по 2 тетради каждому. Сколько учеников получат по 2 тетради и сколько тетрадей останется?

Ученики отвечают, что 6 учеников получат по 2 тетради, а в остатке ничего не останется.

Учитель: А можно сказать, что если 12 тетрадей разделить по 2 тетради, то получится 6 и остаток — 0?

Ученики предлагают свои ответы, после чего учитель показывает, что записи:

• 12: 2 = 6 и
• 12: 2 = 6 (ост. 0) — равнозначны, то есть это деление без остатка.

Далее учащиеся знакомятся с тем, что остаток при делении всегда должен быть меньше делителя. Для этого учитель предложил решить задачу:

Задание28. 14 карандашей нужно разделить ученикам по 5 карандашей каждому. Сколько учеников получат по 5 карандашей и сколько карандашей останется?

Более слабым ученикам рекомендовано предложить для решения данной задачи рисунок.

После записи решения на доске учитель предлагает проверить ответ, выполняя условия задачи практически. Приглашая выйти перед классом 3 учеников, учитель берет 14 карандашей и, отсчитывая 5 карандашей, отдает первому ученику.

Учитель: У меня было 14 карандашей. Я отдал 5 карандашей одному ученику (например Сергею). Сколько карандашей y меня осталось?

Ученики: Осталось 9 карандашей.

Учитель: Как можно это выразить математическим языком, используя числовое равенство?

Ученики: 14 — 5 = 9.

Учитель записывает на доске выражение: 14 — 5.

Учитель: У меня было 14 карандашей. Я отдал 5 карандашей одному ученику. Сейчас отдам еще 5 карандашей другому. Как можно записать мои действия при помощи числового выражения?

Ученики: 14 — 5 — 5.

Учитель: А сейчас сколько осталось y меня карандашей?

Ученики: Осталось 4 карандаша.

Учитель: Могу ли я отдать сейчас следующему ученику 5 карандашей?

Ученики: Нет, не можете.

Учитель: Почему?

Ученики: Потому что остаток меньше, чем 5.

Учитель: А может ли остаток при делении 14 на 5 быть больше, чем 5, или равен 5?

Ученики: Нет.

Учитель: А какие числа могут быть в остатке при делении любого числа на 5?

Ученики: Меньше, чем 5, т. е. 1, 2, 3, 4.

Учитель: Итак, какой должен быть остаток при делении, если сравнить его с делителем?

Ученики формулируют правило. «Осталось меньше делителя».

Рассмотрим фрагмент другого урока, где используется такой путь, в котором учитель предлагает ученикам систему вопросов или заданий. Они подводят их к самостоятельному открытию нового понятия, свойства, правила, закономерности или отношения.

Рассмотрим еще один урок математики, в котором формируются учебно-исследовательские умения.

Урок в 4 классе. Цель урока знакомить учащихся с понятием «Скорость».

Ученикам предлагается решить задачу.

Задание 29. Расстояние от г. Тиpасполя до г. Бендеpы равно 12 км. Пешеход пройдет это расстояние за 3 часа, проходя в каждый час одинаковое расстояние. Сколько км пешеход проходил в час?

Ученики легко могут найти ответ (пешеход проходил 4 км в час), рассуждая таким образом: «Если пешеход проходит за 3 часа 12 км, значит, за 1 час он проходит расстояние в 3 раза меньшее, т. е. 12: 3 = 4 (км/ч)».

После решения этой задачи ученикам задаются ряд вопросов:

• — Кто быстрее преодолеет это расстояние: пешеход или велосипедист, велосипедист или автомобилист?
• — Почему велосипедист проедет это расстояние за меньшее время, чем пешеход? (Потому что велосипедист проедет за 1 час расстояние большее, чем пешеход).
• — А кто знает, как можно еще ответить на последний вопрос, почему велосипедист проедет это расстояние за меньшее количество времени, чем пешеход?

Ответы учеников: «Потому что скорость движения велосипедиста больше скорости движения пешехода».

Предлагается проанализировать эти два ответа на один и тот же вопрос (I ответ: потому что велосипедист проедет в 1 час расстояние большее, чем пешеход; II ответ: потому что скорость движения велосипедиста больше скорости движения пешехода) и попытаться самостоятельно сформулировать понятие «скорость».

Ученики: «Скорость — это расстояние, пройденное за 1 час».

Учитель предлагает ученикам сформулировать тему урока.

После этого ученики могут приступить к решению следующей задачи:

Задание 30. Расстояние от г. Тиpасполя до г. Бендеpы равно 12 000м. Поезд проедет это расстояние за 12 мин. Найти расстояние, пройденное поездом за 1 мин, то есть скорость движения поезда.

После нахождения ответа (1000 м в минуту) можно предложить выразить скорость поезда в км в минуту.

Учитель: Будет ли правильно такое определение скорости, которую мы сформулировали чуть раньше ««Скорость — это расстояние, пройденное за 1 час»?

Ученикам предлагается дать более точное определение понятия «скорость». (Скорость движения — это расстояние, пройденное за единицу времени).

После этого учитель обращает внимание учеников, что скорость измеряется в единицах, которые записываются в общем виде, как, а/в, где а — единица измерения длины, а в — единица измерения времени. Вспоминая, какими единицами измеряется длина и какими единицами измеряется время, ученикам предлагается записывать единицы измерения скорости.

Задание 31. «Расстояние от дома до школы Лена проходит за 10 минут, а Саша — за 15 минут. У кого из детей скорость движения больше?».

Ученики могут встретить затруднение, при решение данного задания. Или могут дать такой ответ, что y Лены скорость движения больше, так как она проходит расстояние от дома до школы за меньшее количество времени.

Учитель должен акцентировать внимание на том, что такое могло бы быть в случае, если бы Саша и Лена жили в одном и том же доме, т. е. на одинаковом расстоянии от школы. Но так как об этом ничего не сказано, можно рассмотреть и случай, когда их дома находятся на разном расстоянии от школы.

Ученики замечают, что для ответа на вопрос нужно знать расстояние, пройденное Леной и Сашей.

Учительница предлагает дополнить условие задачи следующими данными: «Лена живет на расстоянии 1 км от школы, а Саша — на расстоянии 1500 м от школы», записывая внесенные дополнительные данные задачи в таблицу 1.

Таблица 1.

Ученики решают задачу и записывают ответ: y Лены и y Саши были одинаковые скорости.

При решении задач на движение можно предложить учащимся провести наблюдения и выявить зависимость между величинами «скорость», «время», «расстояние». Материал можно найти в пособиях: Л. Л. Николау. Учимся решать задачи на движение. — Тирасполь, 2004 или интерактивное задание (в 3-х частях) из серии заданий «Что от чего зависит?» «Кирилл и Мефодий» // Использование ИКС в обучении студентов педагогических вузов: Методические рекомендации. СПб, Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена. 2004.

Решая различные проблемно-исследовательские задания можно пронаблюдать за характером изменения величин, например, чем больше время движения, тем больше пройденный путь (при постоянной скорости) или чем меньше скорость, тем больше время движения (при постоянном пройденном пути). Следующие наблюдения, которые можно провести, связаны с количественной характеристикой изменений величин, например, а) при постоянной скорости: во сколько раз увеличили время движения, во столько же раз увеличился пройденный путь (прямая пропорциональная зависимость); б) при постоянном пройденном пути: во сколько раз увеличили время движения, во столько же раз уменьшилась скорость — (обратная пропорциональная зависимость).

Работа в данном направлении вносит вклад в функциональную пропедевтику, помогает детям накопить запас доступных функциональных зависимостей. Это создает основу для изучения идеи функции в основной школе и способствует развитию детей.

Опыт организации учебного процесса, имеющего диалоговый хаpактеp, показал, что, решая проблемно-исследовательские задания при изучении понятий, важно учесть, что постановка проблем должна быть связана с обобщением большого фактического материала, а решение проблемы и ее проверка должны быть осуществлены учащимися на индуктивной основе. Однако, на этом этапе обучения весьма важно, чтобы в ответах учеников постепенно появлялись и элементы дедуктивного обоснования проводимых обобщений.

Учитывая, что ученикам начальных классов свойственно наглядно-образное мышление, объяснение рекомендуется строить с использованием материализованной формы умственных действий. Рассмотрим сейчас последний из предложенных нами путей постановки учебной проблемы, когда учитель начинает объяснение нового материала с сообщения темы, показывая прием ее освещения и создавая вместе с тем проблемную ситуацию.

Например, при объяснении деления многозначного числа на однозначное (для случая, когда в частном отсутствуют единицы какого-либо разряда) предлагаем учителям начать свое объяснение с сообщения темы в готовом виде, но с указанием мотивирующего приема.

На доске даны две записи:

Учитель: Между приведенными двумя записями деления многозначного числа 2432 на однозначное число 8 возник спор. Первая запись утверждает, что в частном получилось число 34, а вторая — 304. Давайте разрешим спор, какая запись верна.

Ученики делают предположение, высказывают свое мнение, доказывая истинность построенных суждений. Таким образом самостоятельно выявляют алгоритм деления многозначного числа на однозначное, для случая, когда в частном отсутствуют единицы какого-либо разряда.

Для формирования у учеников умения «увидеть проблему» учитель должен уметь проблему поставить. Несмотря на то, каким путем учитель запланировал процесс постановки проблемы, ее нужно поставить так, чтобы она была ученикам понята и чтобы возбуждала у ученика интерес и желание в ней разобраться. Проблема должна быть такой, чтобы ее решение опиралось на известные ученикам знания, способы мышления и методы решения.

Решая посильные проблемноисследовательские задания в ходе изучения любого материала можно наметить и хотя бы частично выявить те противоречия, которые побуждают учеников к активному и самостоятельному мышлению. Сведения, приобретаемые собственным трудом, ученик запоминает легче, чем те, которые даются ему в готовом виде.

Проблемно-исследовательские задания, способствуют не только формированию у младших школьников исследовательских умений, но и развитию детей. Наблюдая, сравнивая, ученики выявляют закономерности, что способствует более качественному усвоению математического материала.

В качестве примера приведем фрагмент урока по организации исследовательской работы учащихся при изучении темы: «Табличное умножение на 9».

На доске написана таблица умножения на 9.

Учительница: Какие интересные свойства вы замечаете?

Ученик: Каждое последующее значение произведения на 9 единиц больше, чем предыдущее.

Учительница: Это свойство присуще и остальным таблицам умножения, которые мы анализировали и изучали до сих пор. Обратите внимание на числа (цифры) значения произведения. Может быть они что-то вам подскажут?

Ученик: Цифры, записанные в разряде десятков представлены в порядке от 0 до 9, а цифры записанные в разряде единиц — от 9 до 0.

Учительница: Это интересное свойство, но может быть, кто-то еще что-то увидел?

Ученик: Я еще заметил, что когда умножаем 9 на 2, то число десятков произведения равно 1, а когда умножаем 9 на 3, то число десятков равно 2, то есть все время в значении произведения число десятков на единицу меньше, чем число, на которое умножаем.

Учительница: Интересное свойство заметили вы! А теперь попpобyйте сложить цифры, записанные в значении произведения.

Ученик: А я уже заметил, что сумма цифр всегда равна 9.

Учительница: А теперь прошу кого-то, убедить нас в том, что сумма цифр значения произведения всегда равна 9.

Ученик: 1+8=9, 2+7=9; 3+6=9; 4+5=9; 5+4=9;

6+3=9; 7+2=9; 8+1=9; 9+0=9.

Другой ученик: А я еще заметил, что значение первого произведения 9· 1= 09, а значение второго произведения 2· 9=18, а значение предпоследнего произведения 9· 9=81, т. е. числа выражающие значения произведений 09, 18, 27, 36, 45, а дальше 54, 63, 72, 81, 90, т. е. цифры поменялись местами.

Учительница: Молодцы, я предлагаю вам из данной таблицы сложить значение произведения первого и последнего ряда, второго и предпоследнего и т. д.

• 9 · 1 = 9
• 9 · 2 = 18
• 9 · 3 = 27
• 9 · 4 = 36
• 9 · 5 = 45
• 9 · 6 = 54
• 9 · 7 = 63
• 9 · 8 = 72
• 9 · 9 = 81
• 9 · 10 = 9

Ученик: Все время получается 99.

Учительница: Я вам предлагаю еще дополнить запись таблицы таким образом:

• 9 · 1 = 9 = 10 — 1
• 9 · 2 = 18 = 20 — 2
• 9 · 3 = 27 = 30 — 3

Учительница: Подсчитайте, пользуясь этим свойством значения произведения 9 · 7.

Ученик: 9 · 7 = 63 = 70 — 7.

Учительница: Опираясь на свойство, которое вы нашли, т. е. сумма цифр значения произведения в таблице умножения на 9 всегда равна 9, а число десятков на единицу меньше числа, на которое умножаем, найдите произведение 9 · 8.

Ученик: 9 · 8 = 72, т.к. цифра десятков должна быть на 1 единицу меньше 8, т. е. это число 7, а 7 + 2 =9, то цифра единиц-2.

На данном уроке ученики находят свойства, которые знакомы учителю, но для учеников это были маленькие открытия, сделанные ими самостоятельно. Проводя наблюдения, выдвигая гипотезы и решая их ученики решали главную учебную задачу данного урока усвоить (запомнить) таблицу умножения на 9.

При организации таких уроков, на которых преобладает учебно-исследовательская деятельность учащихся, особую роль играют вопросы и действия учителя. Они должны быть направлены и на конкретного ученика, и на всех вместе. Требуется и особое внимание к ответам учеников. Они должны быть четкими и ясными не только учителю, но и каждому ученику.

Начиная с первого класса нужно предлагать учащимся проводить различные исследования, выполнять различные проблемно-исследовательские задания. Например, в первом классе, в период подготовки детей к изучению чисел, можно поручить детям провести дома исследование, узнать какие слова употребляли их родители, когда были маленькими и не знали чисел. А если у них есть маленький братик или сестричка, то ученики могут понаблюдать за малышами и узнать, какие слова используют они вместо чисел.

В 1 классе на любом уроках математике возможно включение проблемно-исследовательских заданий, направленных на анализ, синтез, классификацию, сравнение, обобщение математических объектов. С целью активизации познавательной исследовательской деятельности учащихся рекомендуется использование: загадок, ребусов, шарад, задач-шуток, логических заданий и заданий на развитие творческих способностей; игровых моментов, связанных с введением в ход урока сказочных героев (помоги задать вопрос, изучить, рассмотреть, исследовать, описать и т. д.).