Применение теории устойчивости

Проблему устойчивости движения исследовали многие выдающиеся математики от Ж. Лагранжа до А. Пуанкаре. Ляпунов предложил новые общие строгие методы решения задач об устойчивости движения. Один из этих методов, основывающийся на понятии так называемой функции Ляпунова, позволил ему получить важные по своим применениям критерии устойчивости решения. Созданные Ляпуновым методы исследования успешно применяют и в других разделах теории дифференциальных уравнений. Большой вклад внесли работы Ляпунова и в математическую физику, в частности в теорию потенциала. Ляпунов сделал важный вклад в теорию вероятностей, дав простое и строгое доказательство центральной предельной теоремы в более общей форме, чем та, в которой она рассматривалась до него П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым. Для доказательства своей теоремы Ляпунов разработал оригинальный и чрезвычайно плодотворный метод характеристических функций, который широко применяется в современной теории вероятностей.

ляпунов дифференциальное уравнение система.

Заключение

Решение задачи об устойчивости движения материальных систем, сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений. Проблема устойчивости движения принадлежит к категории труднейших задач естествознания.

В данной курсовой работе мы рассмотрели вопрос об устойчивости решений линейных систем дифференциальных уравнений по Ляпунову. И пришли к выводу, что в математике, решение дифференциального уравнения называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т. д. (см. выше). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.

Выяснение устойчивости проводилось методом характеристических функций, в котором каждый случай разобран на конкретном примере. Где исследовалось решение линейных систем на устойчивость или неустойчивость.

Линейные системы дифференциальных уравнений используются во многих прикладных задачах. Устойчивость решений этих систем имеет не менее важную роль в использовании этих задач.