Экономическое обоснование предложенных мероприятий направленных на повышение эффективности управления товарными запасами на предприятии

В качестве целевой функции в моделях управления запасами, как правило, принимают минимум суммы следующих видов затрат.

• 1. Затраты, связанные с возникновением перебоев в снабжении (потери от дефицита). Введем обозначение. Буквой a обозначим величину потерь от дефицита единицы продукции.
• 2. Затраты, связанные с хранением запаса. Обозначим b — затраты на хранение единицы продукции в единицу времени.
• 3. Затраты, связанные с организацией поставок; пусть c — затраты на одну партию. В наиболее простом случае:

где q — количество заказанной продукции,.

c₀ — издержки, не зависящие от объема заказа и связанные с самим фактом его произведения;

c₁ — закупочная цена единицы продукции.

Наличие в издержках c (q) величины c₀, отличной от нуля, приводит к ограничению количества заказов и, собственно, к необходимости иметь склад.

Поскольку запас с течением времени изменяется, заявки на его пополнение также подаются периодически, при исследовании систем хранения запасов обычно минимизируют средние издержки функционирования системы в единицу времени. Такие издержки могут быть представлены следующим образом:

(4.2).

где — рассматриваемый период времени;

n () — полное число поставок за период [0,];

d () — общий объем заказанной продукции за период [0,].

Функция f (Z), в частном случае, подсчитывается по формуле:

Отрицательное значение Z соответствует ситуации, когда имеет место неудовлетворенный спрос на продукт.

Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отвечать на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математический аппарат.

Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным основанием для классификации моделей управления запасами является характер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спросом).

Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть.

• 1. детерминированными;
• 2. вероятностными.

В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, когда интенсивность потребления не изменяется во времени, илидинамическим, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.

Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рисунок 4.7.

Рисунок 4.7 — Типы моделей управления запасами в зависимости от характера спроса.

Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречается достаточно редко. Наиболее сложные модели — модели нестационарного типа.

Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управления запасами приходится учитывать множество других факторов, например: сроки выполнения заказов. Продолжительность заготовительного периода может быть постоянной либо являться случайной величиной; процесс пополнения запаса. Может быть мгновенным либо распределенным во времени; наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.

1. Однопродуктовая статическая модель. Модель управления запасами простейшего типа характеризуется тремя свойствами: постоянным во времени спросом; мгновенным пополнением запаса; отсутствием дефицита.

В этом случае модель с фиксированным размером заказа и модель с фиксированной периодичностью ведут себя совершенно одинаково, поскольку интенсивность спроса и продолжительность заготовительного периода не изменяются.

На практике такой модели могут соответствовать следующие ситуации: использование осветительных ламп в здании; использование крупной фирмой канцелярских товаров: бумаги, блокнотов, карандашей и т. д., потребление основных продуктов питания.

Для такой модели размер запаса в определеный момент времени может быть рассчитан по формуле:

где W (t) — суммарное поступление продукта за период [0,t].

Величина суммарных поступлений определяется из соотношения:

где n (t) — полное число поставок за период [0,t].

При этом l =, т. е. уровень запаса достигнет нуля, спустя единиц времени после получения заказа размером q.

Полное число поставок:

n (t) = = ,.	(4.6).

где [ ] - целая часть числа.

Из соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) получим:

Уравнение (4.7) полностью описывает рассматриваемую систему хранения запаса.

Оптимизация заключается в выборе наиболее экономичного размера партии q.

Чем меньше q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться.

С другой стороны, с увеличением q уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже.

Так как затраты зависят от частоты заказов и объема хранимого запаса, то величина q должна определяться из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат.

Итак, с₀, как и прежде, — затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении; b — затраты на хранение единицы продукции в единицу времени; с₁ — закупочная цена единицы продукта; d (t) — общий объем потребленной продукции за период [0,t].

Выразим суммарные затраты V (t) за период времени [0,t] и зададимся целью отыскать минимум этих затрат:

Используя соотношения (4.6) и (4.7) и переходя к затратам в единицу времени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:

Заметим, что требованием о целой части в выражении (4.6) нам пришлось пренебречь, чтобы получить дифференцируемую функцию.

Далее найдем производную функции по q и приравняем ее нулю:

откуда найдем q:

(4.8).

Заметим, что вторая производная в точке q^* строго положительна, что говорит о том, что найден именно минимум функции.

Соотношение (4.8) принято называть формулой экономичного размера заказа Уилсона. Формула Уилсона занимает центральное место во всей теории управления запасами.

Таким образом, оптимальная стратегия модели предусматривает заказ q^* единиц продукта через каждые l^* = единиц времени.

Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять также «точку заказа». Можно показать, что «точка заказа» для данного случая определяется как:

При использовании формул (4.8) и (4.9) необходимо контролировать, чтобы интенсивность спроса и стоимость хранения b были отнесены к одному и тому же промежутку времени, например, к году, месяцу или дню.

В отношении оптимального объема партии q^* необходимо сделать следующее замечание.

Стоимость хранения и стоимость заказа, а также предполагаемый спрос, — все это по своей сути ориентировочные показатели, их невозможно точно рассчитать. Иногда стоимость хранение не рассчитывается, а просто устанавливается, исходя из каких-то разумных соображений. Соответственно, экономичный объем заказа нужно считать приблизительным, а не точным показателем. Так, вполне допустимо округлениеполученной величины. Расчеты с точностью до нескольких десятичных знаков могут создать ложное впечатление о точности данного показателя. Возникает вопрос: в какой степени приемлем такой «приблизительный» объем партии с точки зрения минимальных расходов? Ответ состоит в том, что кривая издержек в районе точки q^* относительно пологая, особенно вправо от данной точки. Следовательно, показатель экономичного объема партии можно считать достаточно устойчивым.

2. Однопродуктовая статическая модель, допускающая дефицит. В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не допускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с расходами по содержанию запасов, дефицит допустим.

Не производя подробного вывода формул, скажем следующее.

В случае, когда вид минимизируемой функции определяется посредством соотношений (4.1) — (4.3), оптимальные значения параметров q^* и S^*имеют следующий вид:

(4.10).

(4.11).

Нетрудно заметить, что при больших издержках от неудовлетворенного спроса, т. е. при недопустимости дефицита (a > ?), q^* и S^* в формулах (4.10) и (4.11) стремятся к соответствующим значениям в формулах (4.8) и (4.9).

3. Модель с постепенным пополнением запасов. Простейшая однопродуктовая статическая модель, рассмотренная нами, обладала тремя свойствами: достоверно известный спрос, мгновенное пополнение запаса, отсутствие дефицита.

Что происходит с оптимальными параметрами модели при допущении дефицита, мы выяснили, рассмотревднопродуктовую статическую модель, допускающую дефицит. А что же будет происходить с параметрами модели в случае, когда процесс пополнения запаса распределен во времени? Исследуем эту ситуацию.

В некоторых случаях, например, когда предприятие одновременно является производителем и потребителем изделий, запасы пополняются постепенно, а не мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производственной системы выполняет функцию поставщика для другой части этой системы, выступающей в роли потребителя.

Если темпы производства и потребления одинаковы, то запасы создаваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска сразу же используется. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.

Можно сказать, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление же происходит на протяжении всего цикла. Во время производственной стадии цикла создаются запасы. Их уровень равен разнице между уровнем производства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень запасов будет повышаться. Когда производство прекращается, уровень запасов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максимальным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.

Когда компания сама производит изделия, то у нее нет как таковых расходов на заказ. Однако для каждой производственной партии существуют расходы на подготовку — это стоимость подготовки оборудования к данному производственному процессу: наладка, замена инструмента и т. п. По иному такие расходы называются затратами на пуско-наладочные работы. Стоимость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера партии. Аналогично и использование этих величин при расчетах.

Перейдем к определению оптимальных параметров рассматриваемой модели. Для этого используем прием, уже примененный нами в разделе 6.1: составим выражение, показывающее зависимость затрат V от параметров модели, отыщем производную и приравняем ее нулю.

На этот раз включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на проведение пуско-наладочных работ и затраты на хранение продукции. Расходы, пропорциональные объему партии (компонент, включающий величину c₁), в функцию включать не будем. Во-первых, как мы видели выше, это слагаемое никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных параметров, во-вторых, в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и потребителем продукции, такие затраты по сути не связаны с функционированием системы хранения запасов.

Итак, суммарные затраты V (t) за период времени [0,t]:

Используя соотношениe (4.6) и переходя к затратам в единицу времени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:

Выразим Z_max через q (объем производственной партии). Это легко сделать, используя график движения запаса, представленный на рисунке 4.12, а именно, рассматривая некоторые треугольники и используя простейшие тригонометрические соотношения:

откуда:

Приравняем нулю производную:

Выразим q:

(4.12).

Выражение (4.12) используется для определения оптимального размера партии с модели с постепенным пополнением запаса.

Оптимальное значение «точки заказа» S^* в этом случае, как и для однопродуктовой статической модели, находится из соотношения (4.9):

«Точка заказа» в данном случае представляет собой уровень запаса, при котором следует начать пуско-наладочные работы.

4. Модель с постепенным пополнением запасов, допускающая дефицит. В однопродуктовой статической модели пополнение запасов происходит мгновенно и дефицит не допускается. В однопродуктовой статической модели, допускающей дефицит мы рассмотрели случай, когда допускается дефицит, в модели с постепенным пополнением запасов — ситуацию, когда пополнение запасов происходит постепенно. Теперь рассмотрим более общий случай — дефицит допускается и запасы пополняются постепенно.

Не производя вывод формул для оптимальных параметров такой модели, запишем итоговые выражения.

Оптимальный размер партии q^* будет равен:

(4.13).

«Точка заказа» (критический уровень запаса, при достижении которого следует начать пуско-наладочные работы):

(4.14).

Оптимальная продолжительность цикла l^*:

(4.15).

При данных значениях параметров достигается минимум суммарных затрат в единицу времени. Его можно рассчитать по формуле:

(4.16).

Итоги рассмотрения раздела 6 сведем в таблицу 4.1, где представлены характеристики четырех изученных моделей, а также номера формул, используемых для расчета оптимальных параметров моделей в каждом случае.

Таблица 4.1 — Харатеристики моделей управления запасами.