Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями:

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Нормали к прямым: и .

Угол между прямыми можно определить как угол между нормалями к этим прямым:

Тогда условие параллельности прямых — это условие коллинеарности нормалей:

.

Условие перпендикулярности прямых — это перпендикулярность нормалей:

=> А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Каноническое уравнение прямой

Определение. Любой вектор, отличный от нулевого, параллельный заданной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть на прямой задана точка, а вектор — направляющий вектор прямой. Точка принадлежит прямой, если вектор параллелен вектору :

. (12).

Уравнение (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяется как угол между направляющими векторами этих прямых:

.

Условием параллельности прямых будет условие коллинеарности их направляющих векторов:

||.

Условие перпендикулярности прямых равносильно условию равенства нулю скалярного произведения их направляющих векторов:

.

Параметрические уравнения прямой

Пусть .

Если величины х и у рассматривать как координаты точки М при каждом значении t, то такие уравнения называются параметрическими уравнениями траектории точки М. Аргумент t — переменный параметр.

В каноническом уравнении прямой (12) примем одну из величин (правую или левую часть равенства) за параметр t. Получим два уравнения.

или. (13).

Уравнения (13) — это параметрические уравнения прямой на плоскости. Если принять, что параметр t — время, то параметрические уравнения приобретают физический смысл. Они определяют закон движения точки по прямой L.