Уравнение пучка прямых

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку S (х₀, у₀), называется пучком прямых с центром S.

Теорема. Пусть и — уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S,.

б и в — числа не равные нулю одновременно. Тогда б (А₁х + В₁у + С₁) + в (А₂х + В₂у + С₂) = 0 (*).

это уравнение прямой, проходящей через точку S.

Доказательство.

Докажем, что соотношение (*) является уравнением 1-ой степени.

Запишем его в виде и покажем, что и не обращаются в ноль одновременно.

Докажем от противного:

пусть .

тогда и .

Следовательно,. Но этого не может быть, т.к. по условию прямые пересекаются. Наше предположение оказалось неверно, и не равны нулю одновременно, т. е. равенство (*) — уравнение с двумя переменными (х, у). Это уравнение 1-ой степени, которое определяет прямую. Остается доказать, что эта прямая проходит через точку S. Пусть х₀, у₀ — координаты точки S. Они удовлетворяют каждому из двух уравнений прямых, следовательно, для любых значений и выполняется равенство б (А₁х₀ + В₁у₀ + С₁) + в (А₂х₀ + В₂у₀ + С₂) = 0. (**).

Значит, все прямые, определяемые уравнением (*) при различных значениях и, проходят через точку S. Теорема доказана.

Пусть требуется найти прямую пучка (*), проходящую через заданную точку М* (х*, у*). Должно выполняться равенство б (А₁х*+В₁у*+С₁) + в (А₂х*+В₂у*+С₂) = 0.

Для любого значения можно принять. Тогда из уравнения.

А₁х*+В₁у*+С₁+ л (А₂х*+В₂у*+С₂) = 0 можно найти, а уравнение.

А₁х+В₁у+С₁ + л (А₂х+В₂у+С₂) = 0 определяет искомую прямую.