Гравитационное поле сферически симметрично распределенного вещества

Если масса вещества распределена в пространстве сферически симметрично относительно некоторого центра, то для описания создаваемого этим веществом гравитационного поля удобно построить прямоугольную декартову систему координат, начало которой совпадает с центром симметрии. В этом случае плотность массы вещества будет сферически симметричной функцией от координат точки пространства:

а сила тяготения, действующая на пробную частицу, будет центральной, т. е. будет иметь вид (4.49).

где F® — проекция вектора силы на радиапьное направление. Функция F = F (r) связана с потенциальной энергией U = U(г) пробной частицы соотношением (4.55).

Рассмотрим несколько примеров систем, создающих сферически симметричное гравитационное поле.

Пример 1. Гравитационное поле материальной точки. Пусть в начале прямоугольной декартовой системы координат расположена материальная точка массы М. Согласно формуле (7.4) потенциальная энергия пробной частицы массы т в поле сил тяготения, создаваемом частицей М,.

При этом формула (7.28) дает.

Рис. 7.5. Гравитационное поле материальной точки.

Отрицательный знак проекции силы на радиальное направление означает, что вектор силы F направлен в сторону противоположную направлению радиус-вектора г, т. е. к началу координат, где находится частица М (рис. 7.5).

Подстановка выражения (7.30) в формулу (7.27) приводит к формуле.

которая описывает силовое поле, создаваемое телом массы А/.

поле тонкого сферического слоя.

Пример 2. Гравитационное Рассмотрим взаимодействие между бесконечно тонким однородным сферическим слоем массы М и пробной частицей, масса которой равна т. Построим прямоугольную декартову систему координат гак, чтобы ее начало совпало с центром сферического слоя. Поместим пробную частицу на оси г на расстоянии г от начала координат (рис. 7.6). Найдем по формуле (7.22) энергию пробной частицы. Для этого сферический слой следует мысленно разделить на малые части, найти энергию взаимодействия пробной частицы с каждой из этих частей, а затем сложить полученные выражения.

Множество прямых, проходящих через начало координат под углом в к оси z, образует конус: 9 = const, который вместе с другим конусом, определяемым уравнением в -f d0 = const, вырезает из поверхности сферы с центром в точке О узкое кольцо, называемое сферическим поясом. В данном примере кольцо, вырезаемое конусами из сферического слоя, представляет интерес потому, что все его элементы находятся на одинаковом расстоянии R от пробной частицы. Поэтому в соответствии с формулой (7.22) для энергии взаимодействия пробной частицы с сферическим поясом можно записать выражение.

Рис. 7.6. Сферический слой и пробная частица.

где dM — масса сферического пояса. Так как масса М сферического слоя распределена равномерно по его поверхности, масса dM сферического пояса будет пропорциональна его площади и массе слоя:

где R₀ — радиус сферического слоя. Площадь dS сферического пояса равна произведению его длины 27гR₀ sin 0 на ширину R₀dO:

С учетом формул (7.33) и (7.34) преобразуем выражение (7.32) к виду.

В правой части этого равенства присутствуют две переменные величины R и в, которые не являются независимыми. Составить связывающее их уравнение можно, применив теорему косинусов к треугольнику, образованному отрезками Я, R₀ и г:

Продифференцируем обе части этого равенства, имея в виду, что R₀ и г постоянны для любого сферического пояса. Получим:

Используя это соотношение, выражению (7.35) можно придать вид.

Проинтегрировав это выражение по Я, найдем энергию взаимодействия пробной частицы со всем сферическим слоем:

где R и /?2 — пределы изменения величины Я, т. е. R есть расстояние от пробной частицы до ближайшей точки Р на поверхности сферического слоя, а Яг — расстояние до наиболее удаленной точки Яг (рис. 7.6).

Если пробная частица находится внутри сферического слоя (г < Я₀), то

При этом формула (7.36) принимает вид.

В том случае, когда пробная частица находится вне сферического слоя (г > Я), будем иметь.

Подставив эти выражения в формулу (7.36), получим:

Формулы (7.37) и (7.38) определяют зависимость потенциальной энергии пробной частицы от ее расстояния г до центра сферического слоя. График этой зависимости изображен на рис. 7.7. Следует отметить, что потенциальная энергия пробной частицы во всех точках внутри сферического слоя принимает одно и то же значение, совпадающее с ее энергией на поверхности слоя.

По формуле (7.28) найдем проекцию силы на радиальное направление:

График зависимости F = F® приведен на рис. 7.8. Зависимость силы от расстояния г такова, что на пробную частицу внутри сферического слоя сила тяготения не действует, т. е. гравитационное поле внутри слоя отсутствует. Когда частица находится вне слоя, на нее со стороны сферического слоя действует такая же сила, как со стороны материальной точки массы М, помещенной в точку О.

Рис. 7.7. Потенциальная энергия пробной частицы в гравитационном поле сферического слоя.

Рис. 7.8. Сила, с которой сферический слой действует на пробную частицу.

Пример 3. Гравитационное поле сферически симметрично распределенного вещества. Рассмотрим теперь, как взаимодействует пробная частица с веществом, сферически симметрично распределенным в.

Рис. 7.9. Сферический слой.

пространстве вокруг начала координат с плотностью (7.26). Для этого разобьем заполненное веществом пространство на сферические слои (рис. 7.9). Объем dV тонкого сферического слоя радиуса R₀ и толщины dR₀ равен произведению площади его поверхности на толщину: dV = 4 тг Rl dR₀. Поэтому масса dM слоя будет равна.

Согласно формуле (7.39) сила dF, с которой сферический слой массы dM действует на пробную частицу, находящуюся на расстоянии г от начала координат, будет.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Результирующую силу F, которая действует на пробную частицу, найдем, применив принцип суперпозиции, т. е. проинтегрировав выражение для силы dF по R₀. Интегрирование по R₀ в пределах от 0 до г дает формулу где.

— масса вещества внутри сферы радиуса г. Формула (7.41) учитывает, что на пробную частицу' оказывают действие только те слои вещества, радиус которых меньше г.

Сила (7.41) обладает замечательным свойством. Если вся масса вещества заключена внутри сферы радиуса Я, а вне этой сферы плотность всюду равна нулю:

то на пробную частицу за пределами сферы будет действовать сила

где М = М (Я) - вся масса вещества. Таким образом, приходим к выводу, что для любого сферически симметричного распределения вещества внутри сферы некоторого радиуса Я, вне этой сферы гравитационное поле будет таким же, как поле, создаваемое материальной точкой массы Л/, находящейся в центре симметрии. При этом вектор силы, с которой вещество притягивает к себе частицу массы ш, согласно формулам (7.27) и (7.43) будет иметь вид.

Если внутри сферы радиуса Я плотность о вещества постоянна, то формулы (7.41) и (7.42) дают.

— масса шара радиуса R. Формулы (7.43) и (7.45) описывают силу, с которой однородный шар действует на частицу, находящуюся на расстоянии г от его центра. График зависимости проекции этой силы на радиальное направление от расстояния г приведен на рис. 7.10.

где.

Рис. 7.10. Сила, с которой однородный шар действует на пробную частицу.

Рис. 7.11. Потенциальная энергия пробной частицы в гравитационном поле однородного шара.

В силу соотношения (7.28) потенциальная энергия U = U(г) пробной частицы является первообразной для функции — F®. Проинтегрировав выражения (7.43) и (7.45), придем к зависимости.

График этой зависимости изображен на рис. 7.11.

В предыдущем разделе было показано, как при помощи закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции можно найти силу, с которой сферически симметрично распределенное в пространстве вещество действует на материальную точку. В частности было доказано, что в том случае, когда частица массы т находится за пределами сферы радиуса Я. внутри которой распределено вещество, на нее действует сила.

где расстояние г от частицы до центра распределения вещества больше радиуса Я,

Эти равенства являются следствием формул (7.15), (7.16) и (7.44). Напомним. что вектор г начинается в центре масс системы частиц М, .

Рассмотрим теперь как будет вести себя в силовом поле (7.47) система материальных точек. Пусть к = 1, 2, … есть номер частицы этой системы. В соответствии с формулой (7.47) на к-ю частицу действует сила где гпк и гк — масса и радиус-вектор к-й частицы.

Радиус-вектор г с = rc (t) центра масс системы частиц т* подчиняется второму закону Ньютона, выраженному уравнением (5.48).

где.

— масса системы. Как следует из уравнения (7.49), движение центра масс системы в силовом поле (7.47) определяется суммой всех сил (7.48), действующих на частицы этой системы:

Нетрудно видеть, что эта сумма аналогична сумме в равенстве (7.47). Поэтому для сферически симметричного распределения частиц т* суммирование дает аналогичный результат:

Таким образом, пришли к выводу, что центр масс сферически симметричной системы частиц движется в гравитационном поле, создаваемом другой сферически симметричной системой так же, как материальная точка такой же массы. Другими словами можно сказать, что согласно формуле (7.50) две сферически симметричные системы взаимодействуют, как две материальные точки, расположенные в центрах масс этих систем и обладающие такими же массами. В частности, так взаимодействуют однородные шары. Из формулы (7.50) следует, что модуль силы, с которой взаимодействуют две сферически симметричные системы частиц, равен где г — расстояние между центрами масс этих систем.