Применение методов нелинейной динамики к исследованию финансового рынка

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ФИНАНСОВОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ
• 1.1 Классические теории динамики финансовых рынков
• 1.2 Фундаментальный анализ
• 1.3 Технический анализ
• 2. ГИПОТЕЗА ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА
• 2.1 Развитие гипотезы эффективного рынка
• 2.2.Концепция гипотезы эффективного рынка
• 2.3 Несостоятельность линейной парадигмы
• 2.4 Проверка нормальности
• 2.5 Неустойчивая волатильность
• 2.6 Проверка эффективности рынка
• 3. ГИПОТЕЗА ФРАКТАЛЬНОГО РЫНКА
• 3.1 Концепция гипотезы фрактального рынка
• 3.2 Объяснение лептоэксцесса распределения прибылей
• 4. ТЕОРИЯ ЧАСТИЧНО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
• 4.1 Анализ основных фрактальных характеристик финансовых рядов
• 4.2 Рождение и развитие фрактальной геометрии
• 4.3 Фрактальная размерность
• 4.4 Показатель Херста и R/S-анализ временных рядов
• 4.5 Эмпирический закон Херста
• 4.6 Взаимосвязь фрактальной размерности и показателя Херста
• 4.7 Обоснованность оценки Н
• 5. ГИПОТЕЗА КОГЕРЕНТНОГО РЫНКА
• 5.1 Модель Изинга
• 5.2 Теория социальной имитации
• 5.3 Гипотеза когерентного рынка
• 5.4 Влияние изменений управляющих параметров на вид функции плотности вероятности
• 5.5 Подсчет характеристик модели Веге-Изинга
• 6. АНАЛИЗ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ АМЕРИКАНСКОГО ФОНДОВОГО РЫНКА
• 6.1 Сравнение распределения прибыли на американском фондовом рынке на основании индекса S&P 500 и нормального закона распределения
• 6.2 R/S-анализ американского фондового рынка
• 6.3 Тестирование системы торговли, основанной на распознавании фазы рынка
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
• ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Современный финансовый рынок характеризуется значительной сложностью протекающих на нем процессов. С одной стороны финансовый рынок достаточно хаотичен, поскольку его эволюция определяется волей большого количества людей, а с другой в нем действуют устойчивые механизмы, определяемые коллективным поведением участников.

В этой связи построение формальных моделей, позволяющих лучше понять структуру и поведение рынка, как единого целого, так и его составляющих, долгое время привлекали и продолжают привлекать внимание практиков и исследователей.

Стандартные методы моделирования временных рядов для анализа и прогнозирования процессов, происходящих на финансовых рынках, часто дают неудовлетворительные результаты. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями. В частности, было выявлено, что распределение прибыли на фондовом рынке зачастую не соответствует нормальному закону и характеризуется более высокой вероятностью резкого изменения, нежели действительно случайные процессы.

Неспособность линейных моделей объяснять реально происходящие процессы привела к созданию альтернативных подходов, в основу которых заложено изучение рынка капитала как нелинейной динамической системы, где все вновь возникающие цены находятся в зависимости от своих предыдущих значений, а поступающая на рынок новая информация не всегда находит немедленное и симметричное отражение в ценах на рыночные активы.

В современных условиях нелинейный подход не является интегрированной и цельной концепцией, но представлен большим количеством различных подходов и методов анализа, требующих дальнейшего развития и разработки. Наиболее детально разработанными в свете адаптации к условиям финансовых рынков среди нелинейных концепций можно назвать гипотезы фрактального и когерентного рынка.

Экономическая теория, призванная объяснить реальное поведение экономических систем неизбежно должна быть нелинейной.

Степень разработанности проблемы. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг и развитие теории инвестиций в целом внесли, прежде всего, лауреаты Нобелевских премий (Дж. Тобин (1981), Г. Марковиц (1990), У. Ф. Шарп (1990), М. Шоулс (1997), Р. Ингл (2003)), а также ряд других зарубежных (Г. Дж. Александер, Дж. В. Бей-ли, Г. Дженкинс, Дж. Линтнер, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Д. Нельсон, С. Росс и др.) и отечественных (Л.О. Бабешко, А. В. Воронцовский, В. В. Давние, В. Н. Едронова, Д. А. Ендовицкий, Ю. П. Лукашин, Я. М. Миркин, А. О. Недосекин, Е. М. Четыркин и др.) ученых.

Применение методов нелинейной динамики к исследованию финансового рынка было начато Б. Мандельбротом, Б. Лебэроном, А. Броком, Д. Сье и продолжено Т. Веге, Д. Сорнетте, Э. Петерсом, Г. Г. Малинецким, А. Б. Потаповым, Л. П. Яновским, В. А. Перепелица, С. Е. Тепловым, Е. В. Поповой, Л. Н. Сергеевой, М. М. Дубовиковым, Н. В. Старченко и другими.

Цели и задачи дипломной работы. Целью данного исследования является подтверждение нелинейности американского фондового рынка, а также совершенствование и развитие методологического аппарата теории нелинейной динамики.

Для реализации поставленной цели в дипломной работе ставятся следующие задачи:

· обзор существующих инструментов анализа финансового рынка;

· исследование подходов к оценке стоимости финансовых активов, разработанных в рамках как линейной, так и нелинейной парадигмы;

· применение методологического аппарата нелинейной динамики к моделированию и анализу процессов, протекающих на рынках ценных бумаг;

· разработка методики расчета параметров модели Веге-Изинга, построенной на основе гипотезы когерентных рынков;

· осуществление программной реализации расчета параметров состояния финансового рынка и получение торговых сигналов.

Предмет и объект исследования. Предметом исследования в настоящей работе являются математические, физические и экономические инструменты оценки, анализа и прогнозирования стоимости финансовых активов.

В соответствии с поставленной целью, объектом исследования выступает американский фондовый рынок.

Теоретическая и методологическая основа исследования. Методологическую основу исследования составили современная теория финансовых рынков, а также последние достижения в области эконофизического моделирования. В процессе работы над дипломом использовались труды отечественных и зарубежных ученых в области эконометрического моделирования финансовых процессов методами нелинейной динамики, анализа рынка ценных бумаг, финансового и инвестиционного менеджмента.

Были использованы материалы научной периодической печати, интернет-ресурсы, архив котировок фондового индекса S&P 500 (www.finance.yahoo.com). Эти данные составили эмпирическую базу исследования.

При выполнении дипломной работы применялись хорошо известные в профессиональной литературе методы нелинейной динамики, наряду с методами эконометрического, статистического и экономического анализа.

Обработка данных проводилась на ПК с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel.

Научная новизна. В работе представлен основанный на физико-математическом аппарате подход, обеспечивающий построение математической модели для анализа финансово-экономических процессов.

Получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

· методика оценки параметров модели когерентного рынка, позволяющая определить фазу рыночного состояния;

· положение о переменном числе участников рынка в зависимости от его состояния и о связи степени согласованности мнений инвесторов с постоянной Херста из теории нелинейной динамики;

· предложена стратегия работы на финансовых рынках с учетом фазы рынка, позволяющая получить более высокую доходность и меньший риск по сравнению со стратегий пассивного инвестирования.

Практическая значимость исследования заключается в том, что сформулированные выводы и предложения, разработанные модели и алгоритмы могут быть использованы финансовыми учреждениями, частными инвесторами, разработчиками информационно-аналитических систем, другими субъектами рынка ценных бумаг в качестве инструментария для получения дополнительной информации, способствующей повышению степени обоснованности инвестиционных решений.

Предложенные методы, модели и программы прошли успешную верификацию на реальных временных рядах американского фондового рынка.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ФИНАНСОВОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ

1.1 Классические теории динамики финансовых рынков Традиционно выделяют три основных направления в поисках инструментов для анализа и прогнозирования финансовых активов: это фундаментальный, технический и количественный виды анализа. Начиная с 1920;х и вплоть до середины 1970;х гг. в рыночном анализе доминировали фундаменталисты (последователи фундаментального анализа) и техники (последователи технического анализа). В 1950;е годы к ним добавилась третья группа — сторонников количественного анализа (последователи Башелье). Один из основателей фундаментального анализа Бенджамин Грехем был также и одним из первых пропагандистов количественного метода. Грехем утверждал, что, анализируя компанию, никогда не следует разговаривать с ее руководством, а сфокусироваться стоит исключительно на числах, так как руководство всегда может убедить аналитика в своей точке зрения.

С развитием компьютерных технологий чистый фундаментальный анализ начал сдавать свои позиции, технический анализ расширяться за счет включения в себя все более изощренных инструментов [2], а количественный анализ окончательно отделился от фундаментального. Количественники стали покупать и продавать акции исключительно на основании количественного анализа, не обращая внимания на реальный бизнес компании или ее текущую рыночную стоимость. Рассмотрим данные подходы более подробно.

1.2 Фундаментальный анализ Фундаментальный анализ [3, 4] основывается на изучении общих экономических условий, состояний отраслей экономики, положении отдельных компаний, чьи ценные бумаги обращаются на рынке. Отличительной чертой фундаментального анализа является изучение сущности происходящих на рынке процессов, ориентация на установление глубинных причин изменения экономической ситуации путем выявления сложных взаимосвязей между различными явлениями.

В применении к анализу ценных бумаг можно выделить следующие уровни проведения фундаментального анализа.

Первый уровень — анализ состояния экономики в целом. Эта информация помогает выяснить, насколько общая ситуация благоприятна для инвестирования. Макроэкономическая ситуация имеет огромное значение, и неустойчивость на этом уровне может повлиять на ожидаемый доход даже по перспективным активам. К факторам влияющим на макроэкономическую обстановку относятся не только экономические, но и политические и социальные факторы.

С точки зрения экономики, исследователи выделяют ряды макроэкономических индикаторов, воздействие которых оказывает ощутимое влияние на финансовые рынки. Так, для рынка США можно выделить следующие закономерности в воздействии (см. табл. 1):

Таблица 1

Воздействие роста макроэкономических индикаторов на валютный и фондовый рынки

с.в.- слабое влияние Отметим, что для того, чтобы правильно понять смысл изменения экономических индикаторов и оценить их последствия, необходимо учитывать циклический характер экономики. Одно и то же значение экономического индикатора может иметь разный экономический смысл в зависимости от того, на какой стадии экономического цикла (рецессии, восстановления или подъема) оно наблюдается.

Второй уровень фундаментального анализа — отраслевой анализ. В результате проведения данного анализа инвестор выбирает отрасль, представляющую для него интерес. Ведь даже в условиях мощного экономического подъема инвестирование совсем не в любую отрасль может гарантировать прибыль и позволит избежать потерь.

В рамках фундаментального анализа все отрасли делят на следующие основные группы:

Нарождающиеся отрасли. Как правило, предприятия этих отраслей еще не успели выпустить свои акции на рынок и потому, не всегда прямо доступны инвесторам.

Растущие отрасли. К ним относятся отрасли, которые находятся на начальных этапах своего становления, а также переживающие в результате внедрения новых технологий традиционные отрасли.

Стабильные отрасли. Отрасли, отличающиеся устойчивостью своего развития. В таких отраслях объемы продаж и прибыль относительно стабильны и устойчивы даже в периоды экономических трудностей. Вложения в ценные бумаги компаний этой отрасли можно охарактеризовать высокой надежностью, и, как следствие, низкой доходностью.

Третий уровень фундаментального анализа — анализ компаний, в ходе которого изучаются финансово-хозяйственного положение компаний за несколько последних лет, эффективность управления, прогнозируются перспективы развития. Исследователь пытается оценить определить истинную, справедливую стоимость исследуемого актива. Сравнивая такую справедливую стоимость с текущей оценкой рынка (рыночной ценой), делается вывод о переоцененности или недооцененности товара. Основоположниками такого «стоимостного» инвестирования считаются Бенджамин Грехем и Дэвидом Додд.

Можно выделить следующие этапы в оценке стоимости компании и ее акций [7, 8, 9]:

Сбор пакета финансовой информации. В качестве источников исследуются данные годовых и квартальных отчетов компании, публикации в прессе, материалы собраний акционеров, публичные выступления руководителей компании, исследования специализированных организаций.

Анализ данных о потоках наличности. Рассматривая потоки наличности от операций, инвестору необходимо ответить на ряд вопросов. Возрастают ли потоки наличности? Являются ли позитивные показатели потока наличности следствием ведения операций по основному бизнесу? За счет чего финансируется рост компании?

Анализ баланса компании. Изучаются значения балансовых коэффициентов компании за последние кварталы, включая коэффициент покрытия, коэффициент мгновенной ликвидности, оборот дебиторской задолженности, оборачиваемость товарных запасов, соотношение собственных и заемных средств и т. д.

Анализ отчетов о прибыли за последние кварталы. Для определения того растут или падают продажи и операционная прибыль, сравниваются показатели квартальных результатов по отношению к соответствующим периодам прошлого года.

Анализ отчета о доходах высших должностных лиц, включая данные об их заработной плате, бонусах и принадлежащих им долях акций компании.

Оценка текущей стоимости акций. Для этого изучаются такие коэффициенты, как: капитализация, Profit Margin (прибыльность продаж), Gross Margin (валовая прибыль), EPS (прибыль на акцию), Р/Е (показатель отношения цены акции к доходу на акцию), ROE (рентабельность собственного капитала), PR (показатель выплаты дивидендов) и др.

Прогноз стоимости акций. На основании информации полученной при анализе исследователь создает модель прибыли интересующей его компании и модель чистой текущей стоимости на базе будущих потоков наличности.

Несмотря на то, что фундаментальный анализ является попыткой объективно отразить экономические условия функционирования компаний; сама фундаментальная информация часто «нечеткая» и «размытая», и, как следствие, интерпретация такой информации зависит от субъективного мнения человека ее интерпретирующего. Кроме того, те, кто пользуются этим типом инвестирования, основывают свои решения на информации, которая, как правило, уже известна всем основным участникам рынка, а значит, информация может быть уже учтена в цене акций.

Тем не менее, на рынке можно заметить, что компании, имеющие фундаментальные преимущества, в долгосрочном плане имеют рост котировок акций, превосходящий среднерыночную динамику. Если же рынок «упал», то акции именно таких компаний падают медленнее, а при возобновлении роста быстрее остальных возвращаются к своей прежней стоимости. Эти причины указывают на полезность применения фундаментального анализа при оценке финансовых инструментов и долгосрочной работы стратегического инвестора.

1.3 Технический анализ Исторически технический анализ имел два места рождения [10, 11, 12]. Более ранее — это феодальная Япония XVII века, где был разработан метод «Росоку, но аси» или более просто — «японские свечи». Здесь он применялся для прогноза цен на рисовой бирже. Позже, только в 80-х годах прошлого века этот метод переживет свое возрождение благодаря С. Нилсону, описавшему «японские свечи» в своей книге. Для западного человека предпосылки появления технического анализа появились в 90-х годах XIX века с серии передовиц Чарльза Доу в «Уолл Стрит Джорнал». Принципы, изложенные Доу, использовались им для анализа индексов. В настоящее время суть этих принципов может быть выражена тремя постулатами технического анализа:

Рынок учитывает все. Любой фактор, влияющий на цену — экономический, политический или психологический — уже учтен рынком и включен в цену. Технические аналитики отодвигают на задний план анализ причин макроэкономического характера, повлекших изменение стоимости финансового инструмента. Изучение графика цены — это все, что требуется для прогнозирования.

Цены двигаются направленно. Основным положением технического анализа выступает утверждение о том, что рынок развивается направленно: цены либо растут, либо падают, либо находятся в горизонтальном диапазоне. Такой рынок, в отличие от хаотичного, можно анализировать. Выявление тренда, или превалирующего направления движения цен является залогом успешной торговли. «Trend is your friend» («тренд ваш друг») — гласит известное утверждение. Торгуйте в направлении тенденции, пока она существует.

Выделяются три типа тенденций (см. рис. 1):

· «бычий» (восходящий) тренд — движение цены вверх — каждый последующий пик выше предыдущего (аналогия — бык, который на рогах поднимает цену вверх);

· «медвежий» (нисходящий) тренд — движение цены вниз — каждый последующий спад глубже предыдущего (медведь подминает под себя цену, налегая на нее сверху всей своей массой);

· боковой (горизонтальный, флэт) тренд — цена не имеет четко выраженного движения вниз или вверх и колеблется около некой величины.

Рисунок 1. Определение типа тенденции Продолжительный флэт — предвестник ценовой бури на рынке — сильного роста или падения цен. На движение рынка в горизонтальной плоскости приходится приблизительно одна треть общего объема времени торгов — эта модель движения цен называется «торговый» или «рыночный коридор». Подобные колебания вверх-вниз отражают период равновесия цен, когда соотношение между спросом и предложением практически неизменно.

К трендам можно приложить следующие принципы движения:

· действующий тренд с большей вероятностью продлится, нежели изменит направление (рынок обладает памятью);

· тренд будет двигаться в одном и том же направлении, пока не ослабеет (не подаст четких сигналов о своем завершении).

История повторяется. «Ключ к пониманию будущего кроется в изучении прошлого». Тот факт, что определенные конфигурации на графиках цен имеют свойство появляться устойчиво и многократно, причем на разных рынках и в разных масштабах времени, является следствием действия некоторых стереотипов поведения, свойственных человеческой психике. Те законы, что работали в прошлом — будут работать в настоящем и будущем.

Технический анализ (ТА) — это исследование динамики рынка (котировок, объема торговли и открытого интереса) посредством графиков с целью прогнозирования будущего направления движения цен финансовых инструментов. По значимости объем и открытый интерес несколько уступают цене и используются, главным образом, как подтверждающие индикаторы.

Задачи ТА. Технический анализ — прикладная социальная психология. Его назначение — выявить тенденции в поведении толпы и их изменения с целью принятия разумных биржевых решений. Технический аналитик выявляет настроения рынка, ставя перед собой совокупность следующих задач:

1. Прогнозирование движения будущего тренда: подъем, падение или боковое движение.

2. Оценка длительности движения: краткосрочное, долгосрочное.

3. Нахождение фазы тренда: начало, зрелость, завершение.

4. Анализ силы тренда: слабый, средний, сильный.

Классификация методов ТА. Методы прогнозирования в рамках технического анализа условно можно разделить на две большие группы:

· графические методы — заключения делаются на основе анализа простых графических элементов — линий тренда, уровней поддержки/сопротивления, фигур и самих графиков цен;

· математические методы — заключения делаются на основе анализа поведения искусственно созданных технических индикаторов, представляющих собой наглядные и простые графики.

На современном этапе своего развития можно выделить следующие составные части технического анализа (см. рис. 2):

Рисунок 2. Составляющие технического анализа При сравнении пользы от фундаментального и технического анализа, отметим, что они различаются в двух ключевых моментах [15]: цели анализа и дальности взгляда. В фундаментальном анализе главной целью является определение истинной, справедливой стоимости исследуемого актива. В техническом анализе — исследование текущего состояния рынка, определение господствующей тенденции и ключевых ценовых уровней.

При сравнении целей технического и фундаментального анализа видно, что они учитывают в своей работе разные временные горизонты. Первый дает возможность спрогнозировать ближайшее будущее, второй же позволяет заглянуть в далекое будущее. И только в сочетании этих двух взглядов аналитик пробует получить наиболее реальную картину будущего. Из-за разницы в «дальности взгляда» фундаментальный анализ используется, в основном, инвесторам, рассчитывающими на реализацию долгосрочных стратегий, а технический анализ используется игроками, как правило, для краткосрочных и среднесрочных спекуляций.

2. ГИПОТЕЗА ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА

2.1 Развитие гипотезы эффективного рынка

В теории финансового инвестирования нет концепции, которая имела бы такую широкую проверку и так мало доверия к себе, как «эффективные рынки». Она является краеугольным камнем количественной теории рынка капитала, и последние тридцать с лишним лет исследований были полностью ей подчинены. В действительности гипотеза эффективного рынка (efficiency market hypothesis, EMH) уходит корнями в начало прошлого века.

Оригинальная работа, использующая статистические методы для анализа прибылей, была опубликована в 1900 году Башелье [16], который применил к акциям, облигациям, фьючерсам и опционам методы, созданные для анализа азартных игр. Статья Башелье стала работой пионерского предвидения, намного опередившей время. В числе ее достоинств было открытие того факта, что процесс случайных блужданий (формализованный Винером в 1927 году) является броуновским движением.

Однако за недостатком эмпирических данных утверждение Башелье о том, что рыночные прибыли являются независимыми, идентично распределенными (IID) случайными величинами, осталось нереализованным в практическом анализе.

В течение десятилетий, с 1920;х по 1940;е годы, в рыночном анализе доминировали фундаменталисты (последователи Грэхема и Додда) и техники (или технические аналитики, последователи Маги). В 1950;е годы добавилась третья группа — количественников (или количественных аналитиков, последователей Башелье).

Предубежденность против технического анализа отражена в статье Робертса (1964) в кутнеровском томе. Робертс призывает к широчайшему использованию статистического анализа, основанного на работах Кендалла (1964) [18], который сказал: «…изменения в ценах на бумаги ведут себя так, как если бы они порождались рулеткой, для которой каждое выпадение статистически независимо от прошлой истории и отношения частот достаточно устойчивы во времени». Робертс далее утверждает, что «модель изменений настойчиво требует назависимости», а вероятности «должны быть устойчивы во времени». Логическим обоснованием для принятия случайной модели служит следующее соображение: если рынок был несовершенной рулеткой, то «люди должны были бы заметить это и своими действиями изменить его».

Утверждение о том, что цены акций следуют случайному блужданию, было формализовано Осборном (1964) в его теоретической статье о броуновском движении. Он собрал коллекцию разных концепций, которые, в конечном счете, оправдывают применение вероятностных расчетов. Однако эти инструменты ограничены лежащими в их основе предположениями.

Фама (1965) окончательно формализовал наблюдения в виде гипотезы эффективного рынка [20], которая утверждает, что рынок является мартингалом, или «справедливой игрой», то есть информация не может быть использована для выигрыша на торговой площадке.

Академическое сообщество претерпело тридцатилетний парадигмальный сдвиг — от «животного духа» Кейнса до «рационального инвестора» и ЕМН. К 1970;му году академическое сообщество в целом приняло ЕМН (сообщество инвесторов сделало это несколькими годами позже) и то, что Кан (1962) назвал «нормальной наукой», было взято на вооружение теорией финансов.

2.2 Концепция гипотезы эффективного рынка Гипотеза эффективного рынка предполагает, что, вся существенная информация мгновенно и в полной мере отражается на курсовой стоимости ценных бумаг. Поэтому равенство рыночной цены актива его справедливой (действительной) стоимости соблюдается в любой момент времени. В таких условиях становится невозможным получать сверхприбыль (прибыль, превышающую среднерыночные показатели) на постоянной основе. На рынке действует большое число конкурирующих независимых друг от друга рациональных инвесторов с одинаковым инвестиционным горизонтом, каждый из которых стремится максимизировать доходность согласно приемлемой для него степени риска. Фактически теория гласит, что курсы движутся по случайной броуновской траектории, а вероятностное распределение цен описывается нормальным законом (законом Гаусса) с конечной дисперсией.

Рисунок 3. Информационная система финансового рынка [22]

В зависимости от отражаемой информации (см. рис. 3) выделяют три формы эффективности рынка:

Все три варианта EMH ставят под сомнение обоснованность фундаментального и технического анализа, в свою очередь, сама теория ставится под сомнение приверженцами этих двух подходов.

2.3 Несостоятельность линейной парадигмы Еще до того как полностью оформилась ЕМН, обнаруживались исключения, которые ставили под сомнение предположение о нормальности. Одна из аномалий была найдена, когда Осборн (1964) вычертил функцию плотности прибылей фондового рынка и назвал их «приблизительно нормальными»: это было необычное наблюдение, так как хвосты этого распределения отличались свойством, которое называется «эксцесс». Осборн заметил, что они толще, чем должны были бы быть. К тому времени как появилась классическая публикация Кутнера (1964) стало общепринятым, что распределения ценовых изменений имеют толстые хвосты, но значение этого отклонения от нормальности еще находилось в стадии обсуждения. Статья Мандельброта (1964) в сборнике Кутнера содержала доказательства того, что прибыли могут принадлежать семейству устойчивых распределений Парето, которые характеризуются неопределенной, или бесконечной дисперсией. Кутнер оспаривал это утверждение, — оно серьезно ослабляло гауссовскую гипотезу, — и предлагал альтернативу, которая состояла в том, что сумма нормальных распределений может являть распределение с более толстыми хвостами, тем не менее оставаясь гауссовским.

2.4 Проверка нормальности

Первое подробное изучение дневных прибылей было предпринято Фама (1965), который нашел, что прибыли имеют отрицательную асимметрию [23]: большее количество наблюдений было на левом (отрицательном) хвосте, чем на правом. Кроме того, хвосты были толще, и пик около среднего значения был выше, чем предсказывалось нормальным распределением, то есть имел место так называемый «лептоэксцесс». Это же отметил Шарп в своем учебнике 1970 года «Теория портфеля и рынки капитала». Когда Шарп сравнил годовые прибыли с нормальным распределением, он заметил, что «у нормального распределения вероятность сильных выбросов очень мала. Однако на практике такие экстремальные величины появляются довольно часто».

Позже Тернер и Вейгель (1990) провели более глубокое изучение волатильности, используя дневной индекс рейтинговой компании Стандард энд Пур (S&Р) с 1928 года по 1990 год — результаты оказались похожими. В таблице 2 представлены данные этого исследования. Авторы нашли, что «распределения дневной прибыли по индексам Доу-Джонса и S&Р имеют отрицательную асимметрию и большую плотность в окрестности среднего значения, а также в области очень больших и очень малых прибылей, — если сравнивать это распределение с нормальным».

Таблица 2. Основные характеристики частотного распределения дневных прибылей по индексу S&Р 500, с января 1928 года по декабрь 1989 года

На рисунке 4 показано частотное распределение прибылей, которое иллюстрирует это явление. График представляет пятидневную логарифмическую первую разность в ценах по данным S&Р с января 1928 года по декабрь 1989 года. Эти изменения центрированы и нормированы, то есть имеют нулевое среднее и единичное стандартное отклонение. Здесь же представлено частотное распределение гауссовских случайных чисел. Высокий пик и толстые хвосты, которые заметны в таблице 2, ясно видны на графике. Помимо того, значения прибыли встречаются при 4 и 5 сигма на обоих хвостах.

Рисунок 4. Частотное распределение пятидневных прибылей по индексу S&Р 500, январь 1928 — декабрь 1989 года: нормальное распределение и действительные прибыли

Рисунок 5 показывает разности ординат двух кривых на рисунке 4. Отрицательную асимметрию можно увидеть при соответствующем подсчете на трех стандартных отклонениях ниже среднего значения. Вероятность событий на рынке при 3-х сигма примерно в два раза выше, чем для гауссовских случайных чисел.

Рисунок 5. Разность частот: S&Р 500 пятидневные прибыли — нормальное распределение

Также в своем анализе квартальных прибылей по данным S&Р с 1946 года по 1988 год Фридман и Лейбсон (1989) указывают, что «22.6% однодневных падений биржевых цен 19 октября 1987 года были уникальным явлением, но в масштабе квартального временного окна эпизод 4 квартала 1987 года, оказывался в ряду нескольких других периодов необычайно больших оживлений или крахов». Эти авторы замечают, что в дополнение к лептоэксцессу «большие движения чаще являются крахами, чем взлетами» и значительный лептоэксцесс «появляется вне зависимости от выбранного периода».

Эти исследования с очевидностью говорят о том, что прибыли американских рынков капитала не следуют нормальному распределению. Но если рыночные прибыли не являются нормально распределенными, то тогда множество методов статистического анализа, в частности, такие способы диагностики как коэффициенты корреляции, t-статистики, серьезно подрывают к себе доверие, поскольку могут давать ошибочные результаты. Применение случайных блужданий к рыночным ценам также становится сомнительным.

Стерж (1989) в дополнительном исследовании финансовых фьючерсных цен на государственные казначейские облигации, казначейские налоговые сертификаты и евродолларовые контракты также нашел лептоэксцессные распределения. Он заметил, что «очень большие (три или больше стандартных отклонения) изменения цен могут ожидаться в два-три раза чаще, чем предсказано нормальностью».

2.5 Неустойчивая волатильность

Придя к выводу о том, что рыночные прибыли не следуют нормальному распределению, нельзя удивляться, если волатильность окажется весьма неустойчивой. Причина в том, что дисперсия устойчива и конечна только для нормального распределения, а рынки капитала, следуя постулату Мандельброта, подчиняются устойчивым распределениям Парето.

Исследования волатильности имеют тенденцию фокусироваться на устойчивости во времени. Например, при нормальном распределении дисперсия пятидневной прибыли должна быть в пять раз больше дисперсии дневной прибыли. Другой метод, использующий стандартное отклонение вместо дисперсии, основан на умножении дневного стандартного отклонения на корень квадратный из 5. Это скейлинговое свойство нормального распределения называется правилом, где — временной интервал.

Исследования показывают, что стандартное отклонение не подвержено скейлингу в соответствии с правилом. Тернер и Вейгель нашли, что месячная и квартальная волатильности были выше в сравнении с годовой волатильностью, чем это должно было бы быть, но дневная волатильность была ниже годовой.

Также существует работа Шиллера (1989), включенная в его книгу «Волатильность фондового рынка». Его подход основывается не на рассмотрении распределений прибылей. Вместо этого Шиллер интересуется уровнем волатильности, которая должна была бы быть в рамках рационального рынка. Он замечает, что волатильность на рынке рациональных инвесторов должна бы иметь в основе ожидаемые дивиденды от акций. Цены, однако, намного более волатильны по отношению к изменениям величин ожидаемых дивидендов, даже с учетом инфляции. Шиллер приходит к утверждению, что существует два типа инвесторов: «шумовые трейдеры» — те, кто следуют моде и прихоти, и «штрафные трейдеры», которые инвестируют, исходя из величины ожидаемой прибыли. «Штрафник» — это не обязательно характеристика инвестора-профессионала. Шумовые трейдеры имеют склонность к чрезмерной реакции на новости, которые могут сулить будущие дивиденды, легкие деньги.

Исследованная Шиллером чрезмерная рыночная волатильность бросает вызов:

· идее рациональных инвесторов;

· концепции, утверждающей, что благодаря большому количеству инвесторов можно достичь рыночной эффективности.

Также существует модель Ингла (1982) авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH). В этой модели волатильность зависит от своего же предшествующего уровня. Таким образом, высокие уровни волатильности являются следствием высокой же волатильности, в то время как низкая волатильность — следствие низкой волатильности. Это совпадает с наблюдением Мандельброта (1964) о том, что величины изменений цен (без учета знака) коррелированы. ARCH также дает утолщение хвостов вероятностных распределений.

2.6 Проверка эффективности рынка

С совершенствованием методов прикладных исследований стала очевидна несостоятельность полусильной формы ЕМН. Подтверждением тому служит наличие ряда интересных закономерностей, устойчиво проявляющихся из года в год. На рынке с завидной регулярностью появляются аномалии [30], позволяющие извлекать гарантированный доход.

Публикация финансовой отчетности. Как показали исследования, сверхдоходность от инвестиций можно извлечь, покупая акции после выхода квартальных отчетов, в которых прибыль компании оказывается выше, чем в среднем ожидалось аналитиками. Притом если такое расхождение превышает 20%, то сверхдоходность в среднем превышает издержки на комиссионные. По имеющейся статистике, 31% сверхнормативного роста приходится на период перед объявлением, 18% - на день объявления, и 51% - на период после дня объявления (эффект обычно исчерпывается в течение 90 дней).

Календарные эффекты. Было замечено, что в США в конце календарного года многие инвесторы продают те акции, по которым они понесли наибольшие убытки в истекшем году — для того, чтобы получить налоговые вычеты. В первую неделю января (большей частью в первый же торговый день) эти же акции откупаются обратно. Рынок в конце года аномально понижается, а в начале года — аномально растет (январский эффект). Исследования показали, что такой эффект действительно существует, причем он тем больше, чем меньше размер компании. Причем он настолько велик, что значительно перекрывает транзакционные издержки. Другое объяснение январского эффекта — приукрашивание (window dressing) отчетности менеджерами инвестиционных фондов, поскольку они остерегаются показывать в балансах активы, по которым получен существенный убыток.

Из других календарных эффектов можно отметить эффект конца недели — изменения цен с закрытия рынка в пятницу по открытие рынка в понедельник в среднем негативны. Интересно, что такие изменения цен устойчиво позитивны в январе и устойчиво негативны во все остальные месяцы.

Отношение Р/Е. Акции с низкими Р/Е (отношение цены акции к прибыли на акцию) систематически недооценены, а акции с высокими Р/Е — переоценены. Возможным объяснением является то обстоятельство, что высокие Р/Е присущи так называемым «акциям роста», а перспективы роста рынок систематически переоценивает — на деле рост идет более низкими темпами, чем предполагалось.

Рыночная капитализация компании. Акции малых компаний систематически недооценены. Эффект усиливается, если среди таких акций выбирать еще акции с низкими Р/Е. Следует учесть, что для акций малых компаний транзакционные издержки значительно выше, чем для крупных, поэтому выигрыш можно получить только на достаточно длительном периоде (обнаружено, что для акций США он все же немного меньше года).

Отношение P/BV. Акции с низкими P/BV (отношение цены акции к балансовой стоимости акционерного капитала на акцию) систематически недооценены, эффект наиболее сильный из перечисленных. Наиболее сильно эффект проявляется для малых компаний, в этом случае дополнительного влияния отношения Р/Е не прослеживается.

Такие аномалии давно наводят на мысль, что линейная парадигма требует изменения, которое приняло бы их в расчет. На смену старым методам должны прийти новые, которые не предполагают независимости, нормальности или конечных дисперсий. Эти новые методы должны включать фракталы и нелинейную динамику, которые, будучи примененными к реальным данным, демонстрируют большую результативность.

3. ГИПОТЕЗА ФРАКТАЛЬНОГО РЫНКА

3.1 Концепция гипотезы фрактального рынка

В начале 1990;ых годов была разработана новая парадигма — гипотеза фрактального рынка (fractal market hypothesis, FMH), которая создавалась как альтернатива к гипотезе эффективного рынка. Для инвестора важным является не эффективность рынка, и даже не «справедливая» цена, а ликвидность рынка (сама возможность купить или продать товар). Если инвестор хочет продать актив, он готов его продать по цене, не равной «справедливой». FMH придает особое значение влиянию информации и инвестиционным горизонтам в поведении инвесторов.

Основные предположения гипотезы фрактального рынка, выдвинутые Петерсом (1994) [31]:

1) Рынок создают множество индивидуумов с большим количеством различных инвестиционных горизонтов.

Поведение трейдера с однодневным инвестиционным горизонтом радикально отличается от поведения управляющего пенсионного фонда. Для первого инвестиционный горизонт измеряется минутами, а для второго — годами.

2) Информация по-разному влияет на различные инвестиционные горизонты.

Для трейдера с однодневным инвестиционным горизонтом первичная деятельность — это торговля. Подобный трейдер будет в большей степени интересоваться информацией, получаемой из технического анализа. С другой стороны, большинство фундаментальных аналитиков и экономистов, кто также присутствуют на рынке, имеют длинные инвестиционные горизонты. Они склонны думать, что технические тренды плохо применимы для долгосрочных инвесторов. В структуре FMH оба направления анализа: технический и фундаментальный справедливы, потому что влияние информации в основном зависит от каждого индивидуального инвестиционного горизонта.

3) Основополагающим фактором, влияющим на стабильность рынка, является ликвидность (уравновешивает спрос и предложение). Ликвидность достигается когда рынок состоит из множества инвесторов с множеством различных инвестиционных горизонтов.

Поскольку на рынке участвуют много инвесторов с различными инвестиционными горизонтами, то крах или паника на одном инвестиционном горизонте будет поглощаться и сглаживаться за счет других инвестиционных горизонтов. Когда рынок теряет эту структуру (в силу каких-либо неблагоприятных внешних факторов долгосрочные инвесторы уходят с рынка или становятся краткосрочными инвесторами), тогда рынок становится нестабильным и переходит в фазу «свободного падения» — происходит не просто движение цен вниз, а возникают целые «дыры» между ценами ближайших сделок. Подобные явления можно было наблюдать и в момент кризиса 1987 года на фондовом рынке США, когда инвесторы, обескураженные ужесточением монетарной политики Федерального Казначейства, поменяли свои фундаментальные предпочтения, выбросив на рынок слишком большое количество акций; и в кризисе 1998 года в России, когда «толпа» инвесторов стала сбрасывать ГКО, после того как с рынка ушли и краткосрочные, и долгосрочные инвесторы вследствие неясности относительно динамики обменного курса рубль/доллар в ближайшей перспективе.

4) Цены отражают комбинацию краткосрочного технического анализа и долгосрочной фундаментальной оценки.

Таким образом, в краткосрочной перспективе изменения цен будет более волатильно, чем в долгосрочной перспективе. Определенный тренд на рынке отражает изменения в ожидаемом доходе, базирующимся на изменении экономической ситуации. Краткосрочные тренды в большей степени результат поведения толпы. Нет оснований верить, что краткосрочный тренд отражает долгосрочный экономический тренд.

5) Если риск не связан с экономическим циклом, то не будет существовать долгосрочных трендов. Торговля, ликвидность и информация для короткого инвестиционного горизонта будет доминировать.

Если рынок связан с экономическим ростом в долгосрочной перспективе, то риск будет снижаться постоянно (экономический цикл доминирует). Экономический цикл менее волатилен чем торговая активность, он делает доход в долгосрочной перспективе менее волатильным.

Для большей общности гипотеза фрактального рынка не налагает никаких статистических требований на процесс. Цель FMH состоит в том, чтобы дать модель поведения инвестора и движений рыночной цены, которые соответствуют наблюдениям. Когда рынок стабилен EMH работает достаточно хорошо. Но как только наступает паника и обвал рынка, эта гипотеза дает сбой. Что не является неожиданностью, так как, являясь равновесной моделью, она не приспособлена к нестабильным условиям. Нестабильность имеет место, когда рынок теряет свою фрактальную структуру и принимает одинаковые для всех участников инвестиционные горизонты.

Основными инструментами FMH служат фрактальная геометрия и теория хаотических систем. Необходимость в применении теории хаотических систем возникает при анализе финансовых данных за большой период времени. Такой анализ необходим, если инвестировать на очень большой срок. Локально (на небольшом промежутке времени) траектории цен финансовых активов ведут себя случайно, хотя и не совсем так, как броуновское движение, и их можно изучать с помощью фрактальной геометрии, а глобально (на промежутке времени в несколько месяцев или лет) траектории ведут себя не случайным образом. Объяснение заключается в том, что в долгосрочном периоде зависимость цены от случайных факторов уменьшается. Цена больше зависит от общей деловой активности рынка, от других фундаментальных факторов. Динамика изменения цены при этом менее сложная, чем в краткосрочном масштабе и подается изучению с помощью теории хаотических систем.

3.2 Объяснение лептоэксцесса распределения прибылей

Необходимо рассмотреть, как люди реагируют на информацию. Согласно FMH реакция на полученную информацию — выдается сгустками. Если инвесторы игнорируют информацию до тех пор, пока тренды не установятся и затем откликаются, принимая в расчет всю до того накопившуюся информацию, — вот тогда и могут возникать толстые хвосты. Это означает, что люди реагируют на информацию нелинейно. Стоит только перешагнуть некоторый критический уровень, и начинает сказываться все совокупное влияние, которое до того не влекло за собой никаких последствий. За этим скрывается не что иное, как влияние прошлого на настоящее и, следовательно, несостоятельность ЕМН. Ибо в ЕМН информация и отклик на нее находятся в жесткой причинно-следственной связи.

4. ТЕОРИЯ ЧАСТИЧНО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

4.1 Анализ основных фрактальных характеристик финансовых рядов

На сегодняшний день основная масса литературы, посвященной рыночной экономике, основывается на линейных моделях. Такие модели имеют ограниченную пользу, не отвечают реальному поведению рынка, не дают объяснений внезапных сильных колебаний на финансовых рынках. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями.

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [32−35]. Это достаточно новая область, которая представляет собой активно развивающийся раздел математических методов экономики. Математическая теория хаоса, являющаяся одним из направлений нелинейной динамики, позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных, и разработать основу для принятия решений [36, 37]. Возрастание интереса к нелинейной динамике можно связать в основном с двумя факторами — широким распространением и доступностью мощных персональных компьютеров и осознанием важности изучения динамики хаотических систем. Появление ПК вызвало к жизни экспериментальные исследования, которые оказались необходимы ввиду неполноты теоретических представлений в данной области. Обнаруженные на практике хаотические системы породили весьма важные, трудные, но интересные задачи на всех уровнях — от самых абстрактных математических до конкретных задач прикладной физики.

Можно выделить два основных этапа в развитии нелинейной динамики: [38, 39]:

1) Этап диссипативных структур (1950;1980;е гг.). Понятие «диссипативные структуры» было введено И. Пригожиным [40], основателем современной теории сложности, нобелевским лауреатом, и относится, прежде всего, к диссипативным процессам (то есть к процессам вязкости, диффузии, теплопроводности). Такие процессы позволяли исследуемым системам «забыть» начальные данные и сформировать с течением времени подобные стационарные структуры. Задача анализа сводилась к определению изменения и конфигурации структур при вариации внешних параметров и начальных данных.

Соответствующий математический аппарат нелинейной динамики на этом этапе определялся качественной теорией ветвлений решений дифференциальных уравнений. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались со времен А. Пуанкаре (конца XIX века), успешно применялись в теории колебаний, что не в последнюю очередь обеспечило первые успехи синергетики.

Математическими образами эпохи стали притягивающие множества (аттракторы) в фазовом пространстве, при этом простейшим аттракторам — неподвижным точкам — соответствовали стационарные, не меняющиеся со временем структуры, а с 70-х годов XX века — более сложные структуры — аттракторы, предельные циклы — различные периодические волновые процессы.

2) Этап динамического хаоса (с начала 1980;х гг. и по настоящее время) [41, 42]. Термин «детерминированный или динамический хаос», под которым понимается непредсказуемое поведение детерминированных систем, был введен в научный обиход в 1975 г. Т.-У. Ли и Дж. Йорком. Термин «динамический» (детерминированный) означает, что отсутствуют источники случайных флуктуации. Важным понятием данного этапа стала чувствительность к начальным условиям: экспоненциальное разбегание двух близких траекторий для класса хаотических аттракторов. При этом скорость разбегания можно определить путем вычисления положительной величины наибольшего показателя Ляпунова. Вследствие этой чувствительности становится невозможным сравнить траекторию объекта и модели для одних и тех же моментов времени, так как даже малая ошибка в начальных данных будет экспоненциально нарастать, что приведет, в конечном счете, к совершенно разным траекториям. Поэтому приходится ограничиваться либо кратковременными прогнозами, либо искать адекватные способы сравнения поведения модели и объекта (например, возможно использование некоторых функционалов от траектории, определяющих количественные характеристики хаоса). К основным типам задач, которые решались на этом этапе, можно отнести задачи анализа временных рядов (в частности, нахождение горизонта прогноза), построения прогнозирующих систем, определения законов движения объекта по ограниченному ряду наблюдений.