Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задание I. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

1).

Неопределенность вида. Разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х7, а затем воспользуемся теоремой о том, что величина, обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая:

2).

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем, сократив дробь, получим:

3).

Неопределенность вида. Преобразуем числитель и знаменатель дроби, воспользовавшись эквивалентностью при, получим:

4).

Неопределенность вида. Воспользуемся формулой.

:

Вычислим отдельно .

Неопределенность вида. Дифференцируя числитель и знаменатель, найдем значение предела:

Окончательно получаем:

Задание II. Найти производные явно заданных функций

а).

Используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций, получим:

Используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций, получим:

Используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций, получим:

Выразим заданную функцию через е:

Найдем производную полученной функции, используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций:

Произведем обратную замену функции, окончательно получим: