Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне

Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие. Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 39).

Опытами установлено, что сжатое сечение струи находится от внутренней поверхности резервуара на расстоянии около половины диаметра отверстия. Эта величина обычно бывает мала сравнительно с напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте, тем более при отверстии в боковой стенке.

Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором. В общем случае давление в резервуаре отличается от давления в пространстве, куда истекает жидкость.

Проведем плоскость сравнения 2−2 через центр сжатого сечения струи.

Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.

Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1−1 и 2−2

(124).

где — скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; - средняя скорость течения в сжатом сечении; - коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.

Перенесем наружное давление в левую часть и обозначим величину.

. (125).

Эта величина называется напором истечения.

В правой части уравнения (124) вынесем за скобки. Тогда уравнение Д. Бернулли сведется к.

.

откуда.

.

Обозначим величину.

. (126).

Величину называют коэффициентом скорости.

С учетом введенного обозначения.

. (127).

Так как коэффициент Кориолиса, а коэффициент местных потерь напора в отверстии, то. По опытным данным, а. Отсюда.

.

Для идеальной жидкости и. Тогда.

. (128).

Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает, что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты .

Когда поперечное сечение резервуара много больше площади живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незначительна (к примеру, меньше 0,1 м/сек), то скоростным напором можно пренебречь. В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы, то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. . Это бывает обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.

Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи.

(129).

где — коэффициент сжатия струи, равный отношению площади сжатого сечения к площади отверстия .

Величину обозначают через и называют коэффициентом расхода.

Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле.

. (130).

При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи. В этом случае. В общем же случае коэффициент расхода зависит от условий сжатия.

При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень»), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве геометрического напора Н принимают разность уровней жидкости в резервуарах. Числовые значения коэффициентов, и остаются при этом практически теми же.

В случае круглого отверстия, расположенного на значительном расстоянии от стенок, струя сжимается со всех сторон одинаково, и в сжатом сечении имеет также форму круга; при этом сжатое сечение находится от кромок отверстия на расстоянии около половины диаметра отверстия —. Величина коэффициента сжатия зависит от относительных размеров отверстия и от положения его относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.

В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 40):

• 1) полное сжатие со всех сторон (отверстия 1 и 2);
• 1
• 2) неполное, когда сжатия нет с одной или нескольких сторон (отверстия 3, 4 и 5).

Полное сжатие подразделяют на:

• а) совершенное, когда и (отверстие 1);
• б) несовершенное, когда и (отверстие 2).

Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения.

Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра различны и вследствие сил поверхностного натяжения. На рис. 41 показано изменение формы струи при истечении через квадратное отверстие по мере удаления от резервуара.

При несовершенном сжатии коэффициент расхода вычисляют по формулам:

для круглых отверстий.

(131).

для прямоугольных отверстий.

(132).

где — значение коэффициента расхода при совершенном сжатии; и — поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади сечения отверстий к площади сечения сосуда. Значения этих коэффициентов принимают по таблице:

Значение величин и при несовершенном сжатии.

При неполном сжатии коэффициент расхода вычисляют по уравнениям:

для круглых отверстий.

; (133).

для прямоугольных отверстий.

(134).

где — коэффициент расхода при полном сжатии; - часть периметра, на котором нет сжатия; Р — полный периметр отверстия.

При расчете больших отверстий значения коэффициентов расхода, рекомендованных Н. Н. Павловским, приведены в таблице:

Значения коэффициентов расхода для больших отверстий