Проверка закона Ома. 
Определение удельного сопротивления проводника

Цель работы

• 1. Проверка закона Ома для однородного проводника.
• 2. Проверка линейности зависимости сопротивления от длины однородного проводника.
• 3. Определение удельного сопротивления однородной металлической проволоки.

Теоретические основы лабораторной работы Электрический ток — упорядоченное движение электрических зарядов в пространстве. За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов.

Сила тока сквозь некоторую поверхность — скалярная величина, равная первой производной по времени от заряда, проходящего через эту поверхность:

(1).

Для постоянного тока:

(2).

где — электрический заряд, проходящий через поверхность за время. Таким образом, сила постоянного тока численно равна заряду, проходящему через поверхность S за единицу времени.

Распределение электрического тока по поверхности характеризуется вектором плотности тока. Он направлен в сторону движения положительных зарядов и по модулю равен:

(3).

где — сила тока через элемент поверхности, ориентированный перпендикулярно к вектору .

Сила тока через произвольный элемент поверхности :

. (4).

Здесь — проекция вектора плотности тока на направление нормали к элементу поверхности. При этом сила тока через поверхность произвольного вида выражается формулой:

(5).

Плотность тока зависит от концентрации электронов проводимости и средней скорости их упорядоченного движения:

. (6).

Здесь — элементарный заряд (абсолютная величина заряда электрона).

В металлах средняя скорость носителей пропорциональна напряженности поля по величине: электрический ом проводник.

(7).

где — подвижность носителей тока. Подвижность зависит от рода проводника и его температуры. С учетом соотношения (7) формула (6) принимает вид:

(8).

где — удельная электропроводность металла. Соотношение (8) называется законом Ома для плотности тока или законом Ома в дифференциальной форме. Величина.

(9).

называется удельным электрическим сопротивлением.

Если вектор плотности постоянного тока в проводнике направлен перпендикулярно сечению проводника и имеет одинаковую по всему сечению абсолютную величину, то из формулы (5) следует, что.

. (10).

Для элементарного участка проводника введем вектор, направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока и равный по абсолютной величине длине участка. Тогда с учетом (10) и (8) для участка проводника между сечениями 1 и 2 получим.

. (11).

Интеграл в правой части этого уравнения есть не что иное, как напряжение на участке 1 — 2 электрической цепи. Для однородного участка цепи напряжение совпадает с разностью потенциалов. Интеграл.

(12).

называется электрическим сопротивлением участка цепи между сечениями 1 и 2. Таким образом, уравнение (11) можно записать в виде.

. (13).

Это уравнение выражает закон Ома для участка цепи. Величина обратная электрическому сопротивлению называется электрической проводимостью (электропроводностью) участка.

Для однородного цилиндрического проводника (,).

(14).

где — длина участка 1 — 2 проводника.

Если участок цепи состоит из двух последовательно соединенных проводников с сопротивлениями и, то его сопротивление складывается из этих сопротивлений:

(15).

Если участок цепи состоит из двух параллельно соединенных проводников, то его проводимость складывается из проводимостей этих проводников:

(16).

Упражнение 1.

Таблица 1. Зависимость напряжения на участке цепи от силы тока при фиксированной длине отрезка .

Обработка результатов измерений.

1. По данным таблицы 1 нанесем экспериментальные точки на график зависимости напряжения от силы тока на исследуемом участке цепи.

По формулам:

(17).

рассчитаем погрешности измерения тока и напряжения:

.

Отобразим эти погрешности для последней точки графика.

2. По формуле (13) зависимость должна быть прямо пропорциональной, и коэффициент пропорциональности равен сопротивлению участка цепи. Вычислим наиболее вероятное значение сопротивления и его среднеквадратичную погрешность по формулам:

,.

где.

,.

— количество опытов.

Получили:

.

Получили доверительный интервал для сопротивления :

.

3. Проведем на графике № 1 аппроксимирующую прямую, отвечающую найденному в п. 2 значению сопротивления.

Упражнение 2.

Таблица 2. Зависимость напряжения на исследуемом участке цепи от длины проволоки при фиксированной силе тока .

4. С помощью формулы (13) из данных тока и напряжения в таблице 2 рассчитаем и запишем в ту же таблицу сопротивление. Нанесем экспериментальные точки на график зависимости сопротивления от длины проволоки. Получим формулу погрешности для через погрешности тока и напряжения, рассчитаем эту погрешность и, если возможно, отобразим ее на графике.

Формула погрешности имеет вид:

.

.

5. Исследуемый участок цепи состоит из отрезка проволоки и миллиамперметра, соединенных последовательно. Из формул (14), (15) следует, что его сопротивление.

(18).

где — сопротивление миллиамперметра, — удельное электрическое сопротивление проволоки, — площадь поперечного сечения проволоки. Как видим, зависимость от — линейная и свободное слагаемое в этой зависимости равно сопротивлению миллиамперметра.

Вычислим по экспериментальным точкам зависимости сопротивление и величину.

(19).

как наиболее вероятные значения свободного слагаемого и углового коэффициента наклона этой зависимости по формулам:

,.

где.

, ,.

— количество опытов.

Получили:

.

.

Рассчитаем среднеквадратичные погрешности и как погрешности свободного слагаемого и углового коэффициента по формулам:

,.

где .

.

Получили доверительные интервалы для сопротивления и коэффициента :

.

.

• 6. По найденным значениям и проведем на графике № 2 аппроксимирующую прямую.
• 7. Учитывая, что площадь сечения проволоки

.

из соотношения (19) получим формулы для вычисления и погрешности, через известные значения, , и .

.

Рассчитаем удельное электрическое сопротивление проволоки и его погрешность:

.

Получили доверительный интервал для удельного сопротивления :

.

Вывод

1) Мы проверили закон Ома для однородного проводника. Из зависимости нашли сопротивление проводника. Получили доверительный интервал:

.

2) Проверили линейность зависимости сопротивления от длины однородного проводника.

Из формулы.

.

где.

нашли доверительные интервалы для сопротивления миллиамперметра и коэффициента.

.

.

3) Определили удельное сопротивление однородной металлической проволоки: .