Введение. 
Численные методы

численный метод интерполирование При разработке математического обеспечения САПР часто приходится иметь дело с функциями f (x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f (x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.

На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x₀, x₁, …, x_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках f (x₀) = y₀, f (x₁) = y₁, …, f (x_n) = y_n. Требуется построить интерполирующую функцию F (x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x), т. е. такую, что F (x₀) = y₀, F (x₁) = y₁, …, F (x_n) = y_n.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i, y_i) для i =. Полученная таким образом интерполяционная формула y = F (x) обычно используется для вычисления значений исходной функции f (x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f (x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [x₀, x_n], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.

В такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственную функцию F (x), необходимо предположить, что эта функция не произвольная, а удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

В простейшем случае предполагается, что зависимость y = f (x) на каждом интервале (x_i, x_i+1) является линейной. Тогда для каждого участка (x_i, x_i+1) в качестве интерполяционной формулы y = F (x) используется уравнение прямой, проходящей через точки M_i(x_i, y_i) и M_i+1(x_i+1, y_i+1), которое имеет вид.

. (1).

При программировании процедур линейной интерполяции следует учитывать, что процесс решения задачи интерполирования с использованием формулы (1) включают два этапа: выбор интервала (x_i, x_i+1), которому принадлежит значение аргумента х; собственно вычисление значения y = F (x) по формуле (1).

На практике в качестве интерполирующей функции F (x) обычно используется алгебраический многочлен.

P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

степени не выше n, такой, что P_n(x₀) = y₀, P_n(x₁) = y₁, …, P_n(x_n) = y_n. Наиболее известными методами построения интерполяционного многочлена P_n(x) являются метод Лагранжа, итерационные и разностные методы.