Описание локальной контекстно-зависимой метрики

Существуют разные способы разбиения множества объектов на классы:

• 1. Привлечение экспертного знания. Оно может выражаться, например, в ограничениях, накладываемых на диапазоны изменений признаков объектов, или же в формулировании набора правил для разбиения объектов на классы (построение классификатора).
• 2. Разбиение на основе обучающей выборки, представленной экспертом (обучение с учителем).
• 3. Кластеризация.

Локальная метрика, основанная на классах эквивалентности, делит все объекты на две группы: входящие в один класс с текущим и не входящие в этот класс. Она может принимать только два значения. Если исследуемый объект попал в класс, то близкими (равными по метрике) ему могут считаться объекты этого же класса. Остальные — не равны. Такая метрика не полностью учитывает взаимоотношения между текущим объектом и окружающими (контекст), особенно когда объект попадает в область пересечения классов.

Формирование классов происходит до рассмотрения исследуемого объекта и естественно, не в его признаковом пространстве. На этапе предварительной обработки, когда объекты собирают в классы, признаковым пространством для класса будет пространство, общее для всех признаков этого класса. Далее, после того, как классы сформированы, естественно рассматривать их в общем для них признаковом пространстве (в транзитивном замыкании пространств всех объектов).

При рассмотрении исследуемого объекта он может быть отнесен сразу к нескольким классам. Такая ситуация может возникать, если у объекта часть признаков по отношению ко всем этим классам отсутствует. Это же может произойти из-за недостаточной или некачественной информации при обучении или при разделении на классы. На практике возникновение подобных ситуаций не является редкостью. Проиллюстрируем их на простом примере (рис. 7).

Два непересекающихся класса A и B описаны в пространстве признаков {X₁, X₂}. Объект исследования Oпредставлен одним признаком X₁, признак X₂ у него отсутствует. В этом пространстве признаков {X₁} проекции классов пересекаются, и объект попадает в это пересечение.

Для более точной оценки нужно было бы добавить к контрольному объекту значение признака X₂ (так же поступают и в медицине: если имеющихся показателей не хватает для дифференцирования заболеваний, только дополнительное исследование позволит сделать окончательный вывод), но на практике это не всегда возможно.

До сих пор считалось, что попадание объекта в область пересечения классов является препятствием для оценки объекта. Поскольку от этой ситуации избавиться не удается, ее надо постараться использовать. Для этого будем использовать аналоги — объекты соответствующих классов, попадающие в ту же область пересечения.

При рассмотрении объекта соответствующая ему точка сравнивается с расположением классов в проекции на пространство его признаков. Другие объекты, входящие в один класс с ним, считаются близкими к нему. Объекты могут также попадать в область пересечения классов. Все объекты можно разделить на группы (рис. 8), основываясь на сложности этого пересечения. Объекты, находящиеся в той же области пересечения, что и исследуемый объект, естественно считать более близкими к нему, чем те, которые находятся вместе с ним в каком-нибудь одном из классов, не входя в область пересечения. Этому можно найти простое объяснение: если считать, что введением классов мы разбили множество объектов на основные понятия, то с тем же набором признаков, что и текущий объект, они подобны ему по принадлежности к понятиям, обозначаемым классами.

Сравнив введенное понятие близости с тем, что говорилось ранее, нетрудно заметить, что предложенная метрика является локальной и контекстно-зависимой. Локальной, потому что привязана к рассматриваемому объекту, контекстно-зависимой — потому что зависит от его набора признаков. Приведем более строгое определение предлагаемой меры:

Расстояние от текущего объекта до другого равно разности количества классов, куда попал текущий объект, и количества классов из этого числа, в котором находится другой.

Это значит, в частности, что расстояние между текущим объектом и другим объектом, находящимся в той же области пересечении классов, равно нулю. На рис. 8 цифрами помечены области с соответствующим этим цифрам расстоянием от текущего объекта до объекта из этой области.

Предложенная мера не является метрикой в классическом понимании, а только имеет интерпретацию расстояния. Для нее не гарантируется выполнение правила симметричности, потому что она привязана к объекту, и, при переходе к другому объекту, будет рассматриваться уже в его пространстве признаков. По этой же причине не гарантируется выполнение правила треугольника. Однако она позволяет учитывать контекст взаимоотношений объекта с окружающими, особенно в непосредственной близости от него.

Рис. 8. Степени близости объектов.