Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов

В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных колебаний. Закономерности изменения явления во времени не проявляются в каждом конкретном уровне ряда. Это связано с действием на явления общих и случайных причин. Поэтому для решения этой задачи в статистике существуют следующие методы обработки рядов:

• 1. Метод сглаживания путем укрупнения интервалов во времени.
• 2. Выравнивание рядов динамики методом скользящей средней.
• 3. Метод аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов — наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в более крупные по продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить действие основной тенденции изменения уровней. Новые уровни рассчитываются, как средние из укрупненных периодов. Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической. К примеру, если продолжительность периода равна 3, то переменная средняя будет рассчитана:

Недостатком этого приема является то, что идет потеря информации за счет укорачивания ряда.

Метод скользящей средней — это такая динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода.

Последовательность определения скользящей средней:

— Формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинаковых уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней — пятичленной и т. д. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом:

— Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y1 = y1/m, где.

y1 — I-ый уровень ряда;

m — членность скользящей средней (продолжительность периода) Заметим, первая средняя записывается напротив середины первого уровня.

• — Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет не будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y_n.
• — По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является то, что, как и в случае с методом укрупнения идет потеря информации за счет укорачивания ряда. В дальнейшем затруднен прогноз развития явлений, так как нет достаточного математического обоснования для осуществления прогноза.

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения у_t.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или выровненными теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их ?.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f (t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f (t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f (t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная ;

параболическая ;

экспоненциальная.

или).

• 1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
• 2. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
• 3. Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, -устойчивость в изменении показателей относительного роста.

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

• — определение вида функционального уравнения;
• — нахождения параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть минимальна
• ?(y_i — ?)²>min;
• — расчет «теоретических», выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.

Тенденцию развития социально-экономических явлений обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Наиболее простой и часто встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая уравнением:

y_t = a + bt,.

где у_i — фактические уровни;

у_t — теоретическое значение уровня;

t — периоды времени — фактор времени.

«а» и «в» — параметры уравнения.

Так как «t» известно, то для нахождения «у_t» необходимо определить параметры «а» и «в». Их находят методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть min ?(y_i — ?)²>min; Этому требованию удовлетворяет следующая система нормальных уравнений:

n — количество уровней ряда динамики.

Эту систему уровней можно упростить, если взять t (период времени) таким, чтобы сумма периодов равнялась нулю: Уt = 0.

Для этого необходимо периоды ряда динамики пронумеровать так, чтобы перенести в середину ряда начало отчета времени. В ряду динамики с нечетным числом периодов времени нумерация начинается с середины ряда и с нуля «0», а с четным числом периодов с «-1» и «+1». Тогда уравнения примут следующий вид:

an = Уу, отсюда получим «а».

; ,.

После нахождения параметров необходимо рассчитать выровненные уровни ряда путем подстановки значения номера периода.

Таким образом, аналитическое уравнение сводится к замене фактических уровней теоретическими.

Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период:

В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных месяцев: