Метод хорд. 
Решение уравнений методом хорд

Метод, основанный на нахождении по двум приближениям и с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд.

Идея метода состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика y = f (x)) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью. Иными словами, приближенно заменить на этом шаге функцию f (x) ее линейной интерполяцией, найденной по двум значениям x: и. (Линейной интерполяцией функции f (x) назовем такую линейную функцию, значения которой совпадают со значениями f (x) в двух фиксированных точках, в данном случае — в точках и) [10].

В зависимости от того, лежат ли точки и по разные стороны от корня или же по одну и ту же сторону, получаем рисунок 4:

Рис. 4.Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая

Очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих:. Найдём выражение для функции .

Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению.

.

построенному для отрезка между и, график которой проходит через точку :

.

Решая уравнение, находим.

.

то есть.

. (1.2).

Заметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной f'(x) в точке. Тем самым полученная формула (1.2) — это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона. скалярный уравнение хорда корень.

Вычисление по формуле (1.2) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле.

.

хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (1.2) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.

Имеются две разновидности применения формулы (1.2).

Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (1.2) при i = 1, 2, 3…, начиная с двух приближений и, взятых, по возможности, поближе к корню. При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции f в точках и имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой приближает истинное значение корня, и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство, где — желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближенное значение корня равным .