Основные законы распределения

В результате освоения данной темы студент должен: знать

• • стандартные законы распределения и их свойства;
• • формы закона больших чисел;
• • центральную предельную теорему и ее свойства; уметь
• • проводить расчеты с использованием основных законов распределения; владеть
• • методикой проведения расчетов по оценке основных параметров задач юриспруденции с использованием основных законов распределения;
• • навыками анализа и реферирования научной литературы по данной теме.

Предельные теоремы

При исследовании случайных величин, как правило, функция их распределения F (x) является неизвестной. Однако анализ характера распределения значений случайной величины во многих случаях позволяет подобрать стандартный вид функции распределения, или, как говорят, закона распределения. Разработан целый класс таких функций, позволяющих аппроксимировать (описать приближенно) исследуемые случайные величины. Рассмотрим их.

Биномиальное распределение

Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 — р.

Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину X. Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.

Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т. д. до п раз.

Вероятность каждого значения дискретной случайной величины можно найти по формуле Бернулли

Такой закон распределения называется биномиальным законом с параметрами р и q.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X:

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии

Пример 7.1.

Курсант школы МВД Михайлов попадает в стандартную мишень при стрельбе из пистолета в среднем 9 раз из 10. Он стреляет по мишени 4 раза. Построить ряд распределения дискретной случайной величины X—числа промахов. Построить многоугольник полученного распределения.

Решение. По условию вероятность промаха равна 0,1.

Найдем вероятности того, что из четырех выстрелов:

• 4!
• 1) вообще нет промахов: Р_{0 4} = ^ ^0,1°0,9⁴ = 0,6561;
• 41
• 2) один промах: Р_г 4 = уу-ууОД¹ 0,9³ = 0,2916;
• 4>
• 3) два промаха: Р_{2 4} = _| ' _[0,1² 0,9² = 0,0486;
• 41
• 4) три промаха: Р_{3 4} =^-уу0,1³ 0,9¹ =0,0036;
• 4¹
• 5) четыре промаха: Р_{4 4} = ^ ‘ ОД⁴ 0,9° =0,0001.

Ряд распределения имеет вид.

Построим многоугольник распределения.

Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Вычислить вероятности числа выпадений четного числа очков на обеих игральных костях одновременно (не в сумме).

Решение. Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков — 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5.

Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0, 5 • 0,5 = 0,25.

Одновременно четные числа очков на двух костях при двух бросаниях костей могут выпасть 0,1 или 2 раза.

Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпадет четного числа очков на обеих костях, равна.

Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях, равна.

Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна.

Аналогично примеру 3.1 можно записать ряд распределения дискретной случайной величины X — числа выпадений четного числа очков на обеих игральных костях одновременно. ?

Пример 7.3.

Найти дисперсию дискретной случайной величины X — числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что MX = 0,9.

Решение. Так как случайная величина X распределена по биномиальному закону, то