Теоретические основы использования индукции в процессе обучения алгебре

Индукция как метод познания и форма рассуждения

Познание в любой области науки и практики начинается с эмпирического познания. В процессе наблюдения однотипных природных и социальных явлений фиксируется внимание на повторяемости у них определенных признаков. Устойчивая повторяемость наводит на мысль (индуцирует), что каждый из таких признаков является не индивидуальным, а общим, присущим всем явлениям определенного класса. Логический переход от знания об отдельных явлениях к знанию общему совершается в этом случае в форме индуктивного умозаключения, или индукции (от латинского inductio — «наведение»).

Индуктивным называется умозаключение, в котором на основании принадлежности признака отдельным предметам или частям некоторого класса делают вывод о его принадлежности классу в целом.

В основе логического перехода от посылок к заключению в индуктивном выводе лежит подтверждаемое тысячелетней практикой положение о закономерном развитии мира, всеобщем характере причинной связи, проявлении необходимых признаков явлений через их всеобщность и устойчивую повторяемость. Именно эти методологические положения оправдывают логическую состоятельность и эффективность индуктивных выводов.

Основная функция индуктивных выводов в процессе познания — генерализация, т. е. получение общих суждений. По своему содержанию и познавательному значению эти обобщения могут носить различный характер — от простейших обобщений повседневной практики до эмпирических обобщений в науке или универсальных cуждений, выражающих всеобщие законы.

В зависимости от полноты и законченности эмпирического исследования различают два вида индуктивных умозаключений: полную индукцию и неполную индукцию.

Виды индукции:

Полная индукция - такое умозаключение, в котором общий вывод о классе предметов делается на основании изучения всех предметов данного класса.

Схема полной индукции:

S₁ суть Р

S₂ суть Р

S_n суть Р

S₁ … S_n — весь класс предметов Все S суть Р.

Некоторые логики склонны относить полную индукцию к дедуктивным умозаключениям, так как в полной индукции из истинных посылок может выводиться достоверное общее суждение.

Полная индукция дает достоверные заключения при наличии следующих условий:

• — когда класс предметов или явлений, подлежащих изучению, представляет собой небольшое число элементов — ограничен, поддается «регистрации»;
• — когда точно известен признак, принадлежащий предметам данного класса.

Пример 1.

Докажите, что в интервале между 24 и 28 нет простых чисел.

Доказательство:

• 24=8•3 — составное
• 25=5•5 — составное
• 27=9•3 — составное
• 28= 7•4 — составное

Утверждение доказано.

Неполная индукция — такое умозаключение, в котором общий вывод делается на основании изучения некоторой части класса однородных предметов. Схема неполной индукции:

S₁ суть Р.

S₂ суть Р.

S_n суть Р.

S₁ … S_n — элементы класса Все S суть Р — этот вывод представляет собой вероятное знание.

По способу отбора исходного материала и обоснования заключения неполная индукция делится на популярную (через простое перечисление при отсутствии противоречащих случаев) и научную, разновидностями которой являются индукция через отбор или индукция через установление причинной связи.

В неполной индукции факты для посылок берутся без специального методического отбора. Общий вывод о наличии какого-то признака у класса предметов делается на основе наблюдения у некоторых явлений данного класса этого признака и при отсутствии противоречащего случая. В результате этой индукции выводы получаются малоправдоподобными, так как противоречащие случаи могут обнаружиться, и вывод тогда окажется ложным.

Пример 2.

Требуется найти сумму первых n последовательных нечетных чисел. Рассмотрим частные случаи:

• 1=1=1²
• 1+3=4=2²
• 1+3+5=9=3²
• 1+3+5+7=16=4²
• 1+3+5+7+9=25=5²

После рассмотрения этих случаев напрашивается вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n²

то есть сумма n первых нечетных чисел равна n². (Эта гипотеза верна и доказывается методом математической индукции) Пример 3.

Рассмотрим многочлен.

P (x)=x²+x+41.

Замечаем:

Р (1)=43.

Р (2)=47.

Р (-1)=41.

Р (0)=41.

Делаем заключение: при любом целом х число Р (х) простое (гипотеза ложна), так как при х=41 получим Р (х)=41*43,.

т.е. число Р (41) — число составное.

Математическая индукция — специальный метод доказательства предложений, выражающих некоторое свойство Р, присущее всем натуральным числам n (или всем n > k, где k, — определенное натуральное число). Этот метод, хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции.

Ввиду того что непосредственная проверка наличия свойства Р у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N, поступают так: проверкой устанавливают наличие этого свойства у числа 1 и доказывают, что из допущения о наличии этого свойства у произвольного числа х следует его наличие и у непосредственно следующего за ним числа х +1, (т.е. устанавливается, что свойство P как бы"передается по наследству" от х к х+1). После этого заключают об истинности доказываемого предложения, т. е. о том, что свойством Р обладают все натуральные числа.

Иногда это заключение обосновывается следующим образом: так как доказываемое предложение верно для 1 и из того, что оно верно для произвольного х, следует, что оно верно и для х+1, то оно верно и для числа 2; так как оно верно для 2, то на том же основании оно верно и для 2+1, т. е. для 3; и т. д. Следовательно, оно верно для любого натурального числа. Слова"и т.д." свидетельствуют о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов.

Пример 4.

Доказать, что при любом натуральном n число 23+1 делится на 3n+1.

Доказательство:

• 1. Для n=1 число 23+1=24 делится на 3*1+1=4
• 2. Пусть утверждение верно для n=k, т. е. 23+1 делится на 3k+1. Перейдём к n=k+1:
• 23+1=23+1=(23)3+1=(23+1)((23)2 — 23+1)

Первый множитель в этом произведении делится на 3k+1 по предположению. Осталось показать делимость второго множителя на 3. В самом деле.

(23)2 — 23+1=(23+1)2 — 3*23.

Эта разность, очевидно, делится на 3, поскольку делимость на 3 уменьшаемого вытекает из предположения. Итак, число 23+1 делится на 3k+2.

Доказательство методом математической индукции основано на принципе математической индукции.

Предложение А (n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

• — Предложение А (n) истинно для n=1.
• — Из предположения, что А (n) истинно для n=k (где k — любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.