Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у=f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0.

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции — точку А (x0, f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B (x;f (x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из? АВС: АС = ?x;

ВС=?у; tgв= .

Так как.

АС || Ox, то ALO = BAC = в.

(как соответственные при параллельных). Но ALO — это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgв = k — угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т. е. ?х>0. При этом точка В будет приближаться к точке, А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х>0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве.

tgв =,.

то получим.

или tg =f '(x0), так как.

— угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

.

по определению производной. Но tg = k — угловой коэффициент касательной, значит,.

k = tg = f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0, или, что-то же самое угловому коэффициенту k этой касательной.

Табличные производные и правила дифференцирования

Производные некоторых функций:

()?	;

Правила дифференцирования:

1. Число (константа) выносится за знак производной где С — число.

• 2. Дифференцирование суммы
• 3. Дифференцирование произведения
• 4. Дифференцирование частного

5. Дифференцирование сложной функции.