Интегрируемые типы уравнений первого порядка

В этом параграфе мы приведем методы интегрирования в квадратурах некоторых простейших уравнений первого порядка.

Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение вида.

правая часть которого представлена в виде отношения двух функций g(t, x) и h(t, x). Предполагается, что функции g(t, x) и h(t, x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D плоскости переменных (t, x) и знаменатель h(t, x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества. Уравнение (1.11) часто символически записывают в виде Уравнение (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(t, x) на всем множестве D, т. е.

Таким образом,.

Справедливо следующее утверждение:

Для каждого решения x =??(t) уравнения (1.11) имеет место тождество Обратно, каждая функция x =??(t), заданная на некотором интервале и определяемая как неявная функция из уравнения.

(C — произвольная постоянная), является решением дифференциального уравнения (1.11).

Действительно, пусть x =??(t) — решение уравнения (1.11) с интервалом определения r₁ < t < r₂. Тогда мы имеем, что.

Отсюда получаем.

В силу (1.14) тогда имеем.

т.е.

Таким образом, F(t,?(t)) есть константа на всем интервале (r₁, r₂).

Обратно, предположим что x =??(t) есть решение уравнения (1.15), определенное на некотором интервале, так что Дифференцируя это тождество по t, мы в силу (1.14) получаем:

Отсюда видно, что x = ?(t) есть решение дифференциального уравнения (1.11). Утверждение доказано.

Из сказанного выше ясно, что решение конкретного уравнения в полных дифференциалах состоит в практическом нахождении функции F(t,x). Если функции h(t,x) и g(t,x) обладают непрерывными частными производными по t и x, то из (1.14) следует соотношение.

Тождество (1.16), как известно, является необходимым, а в случае односвязной области D и достаточным условием того, что выражение есть полный дифференциал некоторой функции F(t,x). Из курса математического анализа известно, что функцию F(t,x) можно определить по ее полному дифференциалу hdx???gdt, взяв криволинейный интеграл от h(t, x)dx? g(t, x)dt по любому пути L, соединяющему некоторую фиксированную точку (t₀, x₀) и точку (t, x) с текущими координатами:

Часто бывает возможным выбрать в качестве пути L ломаную, состоящую из двух звеньев, параллельных осям координат; в этом случае.

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.12) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать такую функцию ?(t,x), после умножения на которую левая часть уравнения (1.12) превращается в полный дифференциал Такая функция ? называется интегрирующим множителем. (Заметим, что умножение на интегрирующий множитель ? может привести к появлению лишних частных решений, обращающих функцию ? в нуль).

Из соотношения (1.17) следует, что.

Если функции ?, h и g непрерывно дифференцируемы в D, то из (1.18) следует равенство.

Если область D односвязна, то равенство (1.19) является (подобно (1.16)) не только необходимым, но и достаточным условием существования функции F(t, x), для которой выполняется тождество (1.17).

В общем случае интегрирование (т.е. нахождение функции ?) уравнения (1.19) в частных производных является задачей не более простой, чем решение исходного уравнения (1.11), однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.19) не представляет затруднений.