Принцип Ферма. 
Курс общей физики

Многие законы физики могут быть выведены из того или иного вариационного принципа. В частности это относится к законам геометрической оптики. Все эти законы могут быть получены из одного общего принципа, который называется принципом наименьшего времени, или принципом Ферма (Пьер Ферма (1601 — 1665) французский ученый). Этот принцип утверждает, что среди всех возможных линий, соединяющих две точки Ли В пространства, действительный путь распространения света будет представлен той из них, для прохождения которой свету требуется наименьшее время т. Рассмотрим некоторые следствия этого принципа. Но сначала необходимо записать математическое равенство, выражающее собой принцип Ферма.

Пусть пространство заполнено прозрачной средой, скорость распространения света в которой из-за ее неоднородности может изменяться от точки к точке: v = ы (г). Выберем в пространстве две произвольные точки А и В и соединим их непрерывной линией (рис. 14.1). Пусть dl есть длина бесконечно малого участка этой линии. Время, за которое свет Таким образом, время распространения света от точки А до точки В является функционалом, определенным для произвольной кривой, соединяющей эти точки. Согласно принципу Ферма на действительной траектории движения света функционал (14.18) принимает наименьшее значение. Необходимое условие экстремума функционала.

дает возможность установить путь, по которому свет распространяется от точки А к точке В.

Если свет распространяется в однородной среде, то его скорость во всех точках пространства одна и та же. При этом время распространения (14.18) света будет.

Рис. ЦЛ. К формулировке принципа Ферма.

где / - длина линии, соединяющей точки А и В. Так как среди всех возможных линий, соединяющих две точки, только прямая имеет наименьшую длину, из принципа Ферма вытекает закон прямолинейного распространения сбета в оптически однородной среде.

Покажем, что из принципа Ферма вытекают также законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред с различными показателями преломления. Пусть луч света проходит из точки А в точку В, отражаясь от плоской границы раздела двух сред в некоторой точке С (рис. 14.2). Так как в однородной среде свет распространяется прямолинейно, из точки А в точку С и из точки С в точку В свет движется по прямым линиям, общая длина которых равна.

проходит путь dl, равно dl/v, а время, необходимое свету для распространения вдоль линии АВ_} будет выражаться криволинейным интегралом.

Положение точки С найдем из условия минимальности длины пути:

которое можно записать в виде.

Таким образом, получили известный закон отражения света: угол па дения, а равен углу отражения 0.

Рис. Ц.2. К выводу закона отражения луча света.

Рис. Ц.З. К выводу закона преломления луча света.

Выведем теперь из принципа Ферма закон преломления света. Пусть луч света из точки А проходит в точку В через плоскую границу раздела двух прозрачных сред, пересекая ее в некоторой точке С (рис. 14.3). Показатель преломления среды п определяется как отношение скорости света в вакууме к скорости света в этой среде:

Используя это определение, функционал (14.18) можно записать в виде.

В рассматриваемом случае время распространения света от, А к В будет равно

где п и г*2 ~ показатели преломления первой и второй сред соответственно.

Это есть закон преломления света, или закон Снеллиуса (Виллеброд Снеллиус (1580 — 1626) — голландский математик).

Из условия найдем, что или.