Проблема быстрых и медленных переменных

Степень подробности моделирования изучаемых явлений зависит от цели моделирования. Однако в любом случае задача моделирования заключается в том, чтобы построить модель явления, содержащую, возможно, меньшее число переменных и произвольных параметров и в то же время правильно отражающую свойства явления.

Биологические системы включают большое число процессов с разными характерными временами, причем иерархия этих времен такова, что они различаются на много порядков.

Иерархия времен. Метод квазистационарных концентраций

Учет временной иерархии процессов позволяет сократить число дифференциальных уравнений. «Совсем медленные» переменные не меняются на времени рассматриваемых процессов, и их можно считать постоянными параметрами. Для «быстрых» переменных можно вместо дифференциальных уравнений записать алгебраические уравнения для их стационарных значений, поскольку «быстрые» переменные достигают своих стационарных значений практически мгновенно по сравнению с «медленными».

Пусть имеется три группы переменных с различными характерными временами:

Переменные изменяются с разными характерными временами, причем

Пусть мы наблюдаем за переменной у, характерное время изменения которой Ту («среднее» характерное время). Тогда за время Ту «совсем медленная» переменная z практически не будет изменяться и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его г*.

Система дифференциальных уравнений с учетом этого обстоятельства будет содержать два уравнения и может быть записана в виде

Отметим, что z* не является истинно стационарным значением, «медленная» переменная 2 будет продолжать меняться и «вести» за собой более быстрые переменные х и у. В этом смысле медленная переменная является ведущей, или «параметром порядка».

Рассмотрим теперь уравнение для х. Эта «быстрая» переменная изменяется значительно быстрее, чем у, и за время Т_у успеет достичь своего стационарного значения. Значит, для переменной х дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим:

Таким образом, благодаря учету иерархии времен, исходную систему из трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению для переменной у:

В химической кинетике метод такой редукции системы был впервые предложен Боденштейном и носит название метода квазистациопарных концентраций (КСК).

Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью. К ним относятся каталитические процессы, свободно радикальные и цепные реакции.

В процессах с участием активных промежуточных частиц разность скоростей образования v₀ и расхода v_p частиц мала по сравнению с этими скоростями. Режим называется квазистационарным режимом, а отвечающие ему концентрации активных промежуточных веществ — квазистационарными концентрациями.

Дифференциальные уравнения для промежуточных соединений

можно заменить алгебраическими:

Из I алгебраических уравнений можно выразить I квазистационарных концентраций промежуточных химических соединений. По мере расходования исходных веществ квазистационарные концентрации промежуточных соединений будут меняться, но если время установления квазистационарного режима мало, он не будет нарушаться в течение всего процесса.

Конечно, такое рассмотрение не правомерно для начальных стадий процесса, когда Я* меняются от нуля до своих квазистационарных значений. Этот период носит название периода индукции.

Аналогичная ситуация имеет место в биохимических ферментативных процессах, где процессы образования и распада фермент-субстратного комплекса происходят значительно быстрее, чем процессы расходования субстрата и образования продукта.