Решение задачи интерполирования функций

Пусть на отрезке [а; b] (отрезке интерполяции) в узлах некоторой сетки х₀ = а, х_ь х₂,…, х_п = b (узлах интерполяции) известны значения функции/(х):

Требуется построить аппроксимирующую функцию g (x), удовлетворяющую условиям.

Таким образом, основная задача интерполяции (частный случай задачи аппроксимации) заключается в том, чтобы по известным лишь в нескольких точках значениям аппроксимируемой функции (в этих случаях говорят, что функция задана в табличной форме) построить аппроксимирующую ее функцию. Это позволит находить приближенные значения аппроксимируемой функции во всех точках заданного отрезка интерполяции. Если же при этом требуется находить значения функции в точках вне этого отрезка, то говорят о задаче экстраполяции.

Геометрический смысл задачи интерполяции следующий: построить функцию, график которой в узлах интерполяции {х,} проходит через заданные точки у,. При этом неявно предполагается, что между узлами отличие g (x,) оту (х,) невелико, хотя в формальной постановке задачи для точек, лежащих между узлами интерполяции, никаких условий не выдвигается. Дело в том, что если узлы расположены на небольшом расстоянии друг от друга, то достаточно гладкие функции, совпадающие в узлах, будут близки и в других точках рассматриваемого отрезка аппроксимации. Между тем, как показано на рис. 2.3, возможны самые различные ситуации.

Рис. 2.3. Интерполирование функции.

Решение задачи интерполирования, как и любой задачи аппроксимации, состоит из трех основных этапов. Рассмотрим эти этапы для задачи (2.5), (2.6).