О пятом постулате Евклида

Учение о параллельных линиях Евклид строит, так сказать, на двойном базисе. Первым фундаментом этого учения служит 16-е предложение книги, т. е. первая теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше каждого их внутренних с ним не смежных углов. При пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей образуется 8 углов, которые в парных комбинациях получают различные названия.

Если из внутренних накрест лежащих углов какие-либо два равны между собой, т. е. если.

c = e или d = f (1).

то линии параллельны; в самом деле, если бы эти прямые пересекались, то образовался бы треугольник, в котором один из внешних углов был бы равен внутреннему, с ним не смежному, что противоречит 16 предложению. Отсюда следует, что линии параллельны также, если равны два внешних накрест лежащих угла, т. е. если имеет место одно из равенства.

a = g или b = h (2).

или, если равны два соответственных угла.

a = e, b = f, c = g, d = h (3).

или есть какие-либо два внутренних или два внешних односторонних угла составляют вместе 2d, т. е. если.

c + f = 2d, или d + e = 2d, или a +h = 2d, или b + g = 2d (4).

Дело в том, что каждое из 12 равенств (1) — (4) влечет за собой все остальные 11. Мы приходим, таким образом, к теореме, которая вытекает, главным образом, из предложения, связанного с равенством (1).

Теорема. Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей имеет место одно из равенств (1) — (4), то эти прямые параллельны.

Эта теорема разбита у Евклида на два предложения: двадцать седьмое и двадцать восьмое, которые в совокупности составляют так называемую прямую теорию параллельных линий; она устанавливает 12 равенств, каждое из которых достаточно для того, чтобы две прямые, расположенные в одной плоскости, были параллельны; она доказывается на основе предыдущих предложений, главным образом на основе теоремы о внешнем угле треугольника (шестнадцатое). В таком виде эти предложения излагаются во всех элементарных учебниках геометрии. Возникает обратный вопрос: если известно, что две прямые параллельны, то можно ли утверждать, что имеют место равенства (1) — (4)? Можно ли утверждать, что каждое из этих равенств выражает не только достаточное, но и необходимое условие параллельности двух прямых? Справедлива ли теорема, обратная предыдущей?

Мы привыкли к тому, что за доказательством каждой теоремы следует доказательство обратной теоремы, если только она справедлива. Так как и в этом случае, справедливость обратной теоремы не вызывала сомнений, то было естественно искать ее доказательство. История науки знает ряд вопросов, проблем, разрешение которых долгое время представляло камень преткновений для математической мысли. Простейшие из этих проблем возникли еще к глубокой древности. К числу таких недоступных задач принадлежало также требование доказать обратную теорему в учении о параллельных линиях, т. е. выполнить это доказательство теми же средствами, которыми доказаны предыдущие 27 предложений, а «Началах» Евклида. Не подлежит сомнению, что такое доказательство усердно искали уже до Евклида, и это не удавалось. Подобно Александру Македонскому, Евклид решил разрубить гордиев узел: он принял обратное предложение за постулат, подлежащий в качестве такового приобщению к первым четырем постулатам. Согласно этой установке, каждый, приступающий к изучению геометрии должен был признать, что при пересечении двух параллельных линий третьей необходимо должны иметь место равенства (1) — (4); т. е. собственно принять нужно было только, что при пересечении двух параллельных линий третьей имеет место хотя бы только одно из равенств (1) — (4), так как каждое из них влечет за собою остальные. Евклид принимает, что при пересечении двух параллельных линий третьей имеет место какое-либо одно из равенств (4). Таким образом, Евклид принимает в качестве постулата, что при пересечении двух параллельных прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d, или — что, очевидно, то же — если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна двум прямым, то эти прямые не параллельны, они неизбежно пересекаются. Таков дополнительный постулат, который Евклид вводит, которым он пользуется, начиная с 29 предложения первой книги. Чтобы в этом узловом пункте быть вполне точным, нужно остановиться еще на одной детали. Из теоремы о внешнем угле непосредственно вытекает, что сумма двух углов треугольника никогда не может превысить 2d. Это и составляет содержание следующего семнадцатого предложения. В самом деле, если A и B внутренние углы треугольника ABC при основании AB, А1 и В1 — соответствующие смежные углы, то сумма четырех углов.

А + А1 + B + B1 = 4d.

Но так как.

А < B1, B < А1.

то на сумму, А + B приходится меньше половины суммы всех четырех углов, т. е.

A + B < 2d.

Это можно выразить так: если две прямые AC и BC пересекаются в точке C, то пересечению всегда имеет место с той стороны секущей AB, с которой сумма внутренних односторонних углов меньше 2d.

Теперь мы можем привести постулат о параллельности точно в той форме, в которой мы его находим в «Началах» Евклида.

Постулат V. Если при пересечении двух прямых лежащих на одной плоскости третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Так возник знаменитый постулат, послуживший отправной точкой разветвления геометрии.

Геометрия, таким образом, с этого места разветвляется, распадется на две части: первую часть образуют те предложения, которые от постулата не зависят: их совокупность в настоящее время называют абсолютной геометрией; вторую составляют предложения, которые, как уже было ясно Евклиду, без этого постулата доказаны быть не могут; эти последние образуют так называемую собственно евклидову геометрию.

Вследствие своеобразного характера V постулата на нем было особенно сосредоточенно внимание комментаторов. Его часто заменяли другим эквивалентным ему постулатом, который казался более простым. Так, английскому математику Плейферу приписывают следующую формулировку постулата.

Постулат Плейфера: Через точку C, лежащую вне прямой AB, в плоскости ABC проходит только одна прямая, не встречающая AB.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

• — Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
• -Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца, 1791).
• -Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.
• -Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются.
• -Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
• — Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).
• — Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,
• -Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756).
• -Сумма углов одинакова у всех треугольников.
• -Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
• -Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).
• -Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.