Средние величины. 
Теория статистики с элементами эконометрики в 2 ч. Часть 1

Наиболее распространенной формой обобщающих статистических показателей является средняя величина. Важность значения изучения сущности и принципов расчета этого показателя выразительно проиллюстрировано в рассказе Г. Успенского «Четверть лошади». Автор писал: «В деревне Присухине… школа имеет тридцать учеников, в деревне Засухине — двадцать, а в деревне Оплеухине — всего два ученика… Ив этого, изволите видеть, следует такой средний вывод, что средним числом на школу — по семнадцать человек и еще какой-то нуль… Это все равно, ежели бы я взял миллионщика Колотушкина, у которого в кармане миллион, присоединил бы к нему просвирню Кукушкину, у которой грош, так тогда в среднем выводе на каждого и вышло бы по полумиллиону… Из этого видно, до каких нелепостей можно дойти при неправильном, ненаучном применении средних, когда не интересуются существом тех явлений, для которых средние исчисляются» (цит. по [14, с. 48—49J).

Исследования средних величин представлены в работах известных ученых А. Кетле, К. Джини, В. Петти, И. С. Пасхавера, Г. Кинга, А. Боули, Р. Фишера, Дж. Юла, Ф. Миллса, А. Я. Боярского, Н. К. Дружинина и др.

Труды А. Кетле (1796—1874) являются первой попыткой научного обоснования теории средних величин и их широкого применения на практике для исследования социальных явлений. «Идея выявления через средние величины типичных явлений, как закономерностей массовых социальных процессов, была сформулирована Кетле впервые; она является идеей огромного значения в теории средних. Кетле различал только два типа средних: одни средние — как результат обобщения многократных изменений одной и той же величины, другие средние — как обобщение различных уровней изучаемого признака у различных индивидуумов. Однако, основываясь на теории идеала типа, Кетле считал возможным в ряде случаев приравнивать средние второго рода к средним первого рода посредством безграничного увеличения числа наблюдений» (цит. по [34, с. 1—2]). Кетле определял среднюю величину через понятие среднего человека: «Рассматриваемый абстрактно, как представитель всего нашего рода и как носитель средних качеств, какие только встречаются у других людей, человек будет называться у нас средним человеком: он может быть в одной стране больше или сильнее, нежели в другой, так же точно как он может быть умнее, образованнее, и что еще лучше, нравственно более развит… Человек, которого я здесь рассматриваю, служит в обществе тем же, чем центр тяжести в телах; он — та средняя, вокруг которой колеблются социальные элементы: если хотите, это фиктивное существо, для которого все происходит сообразно средним выводам, полученным для общества» [19, с. 52 ]. К. Джини (1884—1965) дал такое определение: «Средняя нескольких величин является результатом действий, выполненных по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная, или эффективная), либо какую-нибудь новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)» [8, с. 64].

Ю. Э. Янсон писал о средних величинах, что они «служат для определения состояния явлений; процесс их вывода весьма прост: берется сумма отдельных наблюдений и делится на число наблюдений (среднее арифметическое) или извлекается корень степени числа количеств из произведения количеств (среднее геометрическое)» [50, с. 53]. При этом он считал, что «средние делятся: на средние типические или действительные (Кетле) или объективные (Бертильоп) и средние арифметические (Кетле) или субъективные (Бертильон). Различие двух указанных родов средних основывается на так называемом законе ошибок или законе распределения уклонений от средней, чем уклонение больше, тем в меньшем числе случаев оно будет появляться и наоборот» [51, с. 45]. Известный статистик А. К. Митропольский (1888—1977) утверждал, что «среднее значение указывает положения ряда распределения, т. е. дает более или менее приближенное представление о том уровне, около которого колеблются отдельные наблюденные значения случайной величины» [26, с. 109]. А. Я. Боярский писал: «Средняя — это абстрактная характеристика совокупности, при замене которой всех индивидуальных эмпирических значений данного признака остается неизменной величина определяющей функции, т. е. остается неизменным количественное выражение определяющего свойства^[1] для всей совокупности в целом» [5, с. 225]. Позднее он уточнил: «Средние — это обобщающие показатели, выражающие типичные размеры (уровни) варьирующих признаков общественных явлений в конкретных условиях места и времени» [6, с. 127].

Итак, средняя величина дает обобщающую (типическую) характеристику исследуемой совокупности по определенному признаку.

Признак, по которому находится средняя величина, называется осредняемым и обозначается х. Важное аналитическое значение средней заключается в том, что она позволяет сравнивать значения признаков, относящихся к разным совокупностям. Существуют следующие виды средних величин: простые; взвешенные.

Если средняя величина рассчитывается для несгруппированных данных, то используется формула простой средней:

где Xj — варианты, отдельные значения признака в статистической совокупности; п — объем совокупности; z — показатель степени.

Если же она рассчитывается для сгруппированных данных, с использованием частот, то применяется формула средней взвешенной.

где / — частота, показывающая, сколько раз встречается значение признака.

При этом частота может быть представлена не только абсолютными величинами, но и относительными (в процентах или долях).

Пример 5.9.

Известны данные о размере общей площади жилья, приходящегося в среднем на одного проживающего в РФ в 2011 г. (URL: www.gks.ru). Требуется определить, сколько общей площади жилья приходится в среднем на одного человека в РФ в 2011 г.

Решение.

Таким образом, в 2011 г. на одного человека, проживающего в РФ, приходилось в среднем 21,03 м² общей площади жилья.

Прием по замене частоты относительной величиной структуры можно применить в отношении не только средней арифметической, но и средней гармонической.

Рассмотрим порядок расчета средней величины через относительные величины структуры на примере определения средней фондоотдачи. Пусть Ф, — уровень фондоотдачи по объекту; — доля стоимости данного объекта в общей стоимости фондов в изучаемой совокупности; d_qi — доля данного объекта в общем выпуске продукции. Тогда среднюю фондоотдачу можно рассчитать следующим образом:

или.

Аналогичным образом можно рассчитать и другие средние через относительные величины структуры, например среднюю фондоемкость, среднюю цену продукции, средний уровень себестоимости и т. д.

Формулы расчета среднего значения показателя через относительные величины структуры позволяют охарактеризовать зависимость средней не только от индивидуальных значений осредняемой величины, но и от структуры совокупности, поскольку изменение структуры совокупности приводит к изменению средней величины. При этом индивидуальные значения осредняемого признака могут оставаться неизменными. Кроме того, в анализируемой совокупности частоты могут оказаться сложными, т. е. состоять из двух и более взаимосвязанных показателей.

Пример 5.10.

Имеются условные данные о трех кредитах, полученных компанией в текущем году в разных банках. Требуется определить среднюю годовую процентную ставку по трем кредитам.

Решение

Для расчета средней годовой процентной ставки сначала следует рассчитать сроки кредитов в годах. Результаты представлены в таблице. Тогда средняя годовая процентная ставка будет равна.

Таким образом, средняя годовая процентная ставка по трем кредитам, полученным компанией, составляет 9,5%.

Традиционно выделяют следующие формы средних: 1) арифметическая; 2) геометрическая; 3) гармоническая; 4) квадратическая; 5) кубическая. Выбор средней величины производится не произвольно, а в зависимости от цели исследования, характера имеющихся исходных данных. При этом средняя величина должна рассчитываться так, чтобы при замене ею каждого варианта не изменялся итоговый показатель.

Средняя арифметическая применяется в случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков ее отдельных единиц (примеры: средний возраст сотрудников компании, рост спортсменов баскетбольной команды и т. д.).

Простая.		Взвешенная.

Пример 5.11.

В августе зарплата шести менеджеров по продажам торговой компании составила 75, 81, 65, 93, 68, 72 тыс. руб. Требуется определить среднюю заработную плату менеджера по продажам в данной компании.

Решение

Таким образом, средняя заработная плата менеджера по продажам компании составляет 75 667 руб.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

• 1) средняя арифметическая постоянной величины, А равна этой же постоянной величине: А = А;
• 2) сумма отклонений индивидуальных значений вариантов от средней равна нулю:

3) произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты:

4) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины А:

5) величина средней арифметической не изменится, если вес каждой варианты умножить (или разделить) на одно и то же число:

6) если каждую варианту умножить (разделить) на число, не равное нулю, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:

7) если все варианты признака увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на это же число:

Применение свойств средней арифметической позволяет упростить ее расчет.

Среднюю величину в вариационном ряду, который состоит из крупных вариантов или больших частот, как правило, рассчитывают специальным способом. Здесь для упрощения расчетов большие значения признака х_{ уменьшаются. После вычисления из уменьшенных вариантов средней арифметической ее увеличивают во столько или на столько, во сколько или на сколько уменьшались варианты. Такой прием расчета средней величины называется способом отсчета от условного нуля:

где Xj — варианта; д:₀ — условный нуль, в качестве которого принимается середина интервала с наибольшей частотой; h — величина интервала; f_i — частота.

Пример 5.12.

По агентству недвижимости имеются условные данные о продаже однокомнатных квартир в 2012 г. Требуется определить среднюю стоимость однокомнатной квартиры.

Стоимость однокомнатных квартир, xv тыс. руб.	Число квар; тир,/,.	Середина интервала.		Ширина интервала, hj
2000;4000.			— 1000.		— 0,5.	— 8,5.
4000−6000.					0,5.
6000−8000.					1,5.	16,5.
8000−10 000.					2,5.
Всего.		;	;

Решение

В качестве х₀ следует принять среднее значение из двух вариант с наибольшей частотой при четном числе интервалов (если ряд имеет нечетное число интервалов, то в качестве д:₀ следует принять центральную варианту ряда).

Порядок дальнейших расчетов приведен в таблице. В результате подстановки итоговых результатов в формулу (5.15) получится.

Таким образом, средняя стоимость однокомнатной квартиры составила 5200 тыс. руб.

В специальной литературе по статистике можно обнаружить два способа нахождения средней арифметической упрощенным способом. Первый способ предполагает расчет по формуле (пример 5.12), а второй — присвоение вариантам условных значений вместо расчета их фактических отклонений от условного нуля в числителе формулы. Например, варианта, принятая за условный нуль, обозначается как нуль, следующая за ней варианта — единица, а ей предшествующая — минус единица и т. д. (пример 5.13). Вычисление среднего показателя вторым способом еще в большей степени упрощается.

Пример 5.13.

На основе условных данных примера 5.12 о стоимости однокомнатных квартир, проданных агентством недвижимости в 2012 г., требуется рассчитать среднюю стоимость однокомнатной квартиры.

Стоимость однокомнатных квартир, xi9 тыс. руб.	Число квартир,. А	Середина интервала.	Условное отклонение,. ху
2000;4000.			— 1.	— 17.
4000−6000.
6000−8000.
8000−10 000.
Всего.		—.	—.

Решение

Варианта с наибольшей частотой принимается за условное начало отсчета. В данном примере — это интервал 4000—6000, так как он имеет наибольшую частоту — 26. Порядок дальнейших расчетов приведен в таблице.

В качестве х₀ следует принять срединное значение интервала с наибольшей частотой:

В результате подстановки итоговых результатов в формулу (5.15) получится.

Таким образом, средняя стоимость однокомнатной квартиры составила 5200 тыс. руб. (значение равно результату, полученному в примере 5.12).

Средняя геометрическая используется для сохранения неизменности произведения индивидуальных значений признака, например при анализе динамики (примеры: средний темп роста выпуска продукции, прибыли компании и т. д.), при заданном минимальном и максимальном значениях признака.

Простая.		Взвешенная.

Пример 5.14.

Средний теми роста потребительских цен в РФ за 2000—2010 гг. представлен в таблице (URL: www.gks.ru).

Требуется определить средний темп роста потребительских цен за 11 лет.

Решение

Таким образом, потребительские цены ежегодно в среднем повышались на 12,7%.

Средняя гармоническая применяется, если необходимо оставить постоянной сумму величин, обратных индивидуальным значениям признака. В этом случае частоты (веса) неизвестны, а известны произведения признака на соответствующую частоту (примеры: средние затраты труда, времени, материалов на одну деталь, средняя урожайность, средняя скорость и т. п.).

Простая.		Взвешенная.

Пример 5.15.

Имеются условные данные об остатках денежных средств по срочным вкладам по трем филиалам банка за январь, тыс. руб.

Требуется определить средний остаток денежных средств по срочным вкладам в банке.

Решение

Для расчета средней величины требуется разделить общую сумму остатков по срочным вкладам на число всех вкладчиков. Информация о числе вкладчиков неизвестна, но может быть получена расчетным путем как отношение общей суммы остатков денежных средств по срочным вкладам всех вкладчиков и среднего остатка по срочным вкладам.

Таким образом, средний остаток денежных средств по срочным вкладам банка в январе составил 249,49 тыс. руб.

Средняя квадратическая рассчитывается, когда необходимо сохранить неизменной сумму квадратов индивидуальных величин, а также при расчете показателей вариации (примеры: средняя площадь, средний диаметр, средняя длина квадратного участка и т. п.).

Простая.		Взвешенная.

Пример 5.16.

Требуется рассчитать средний диаметр труб, если известно, что диаметр первой трубы равен 15 см, второй — 30 см, третьей — 50 см. Решение

Таким образом, средний диаметр трубы равен 34,76 см.

Средняя кубическая применяется в случае сохранения неизменной суммы кубов индивидуальных величин (пример: средний объем).

Простая.		Взвешенная.

Пример 5.17.

Имеются данные об объеме водохранилищ Карелии: Водлозеро — 1,03 км³, Кумское — 9,83 км³, Иовское — 2,06 км³. Требуется определить средний объем водохранилищ Карелии.

Региение

Таким образом, средний объем водохранилищ Карелии составил 6,84 км³.

А. Я. Боярским было сформулировано правило мажорантности средних, суть которого состоит в том, что степенные средние величины разных видов, рассчитанные по одной совокупности, имеют разные количественные значения, и чем больше показатель степени 2, тем больше величина соответствующей средней:

При этом различия между значениями средних величин будут тем значительнее, чем больше колеблемость осредняемых величин. При небольшой колеблемости разница между ними будет крайне мала.

Пример 5.18.

Имеются условные данные о величине прибыли филиалов компании, млн руб. Требуется рассчитать среднюю прибыль, но филиалу и проверить правило мажорантное™ средних.

Решение

Средняя гармоническая равна.

Средняя геометрическая равна.

Средняя арифметическая равна.

Средняя квадратическая равна.

Средняя кубическая равна.

Таким образом, правило мажорантности средних выполняется:

Важно помнить, что не только вид и форма средней величины влияют на ее итоговое значение, но и перегруппировка анализируемой совокупности может изменить результат.

Пример 5.19.

Имеются условные данные об объеме месячного товарооборота магазинов розничной сети, тыс. руб. Требуется определить средний месячный товарооборот магазинов данной сети.

Решение

Таким образом, средний месячный товарооборот равен 3 183 673 руб. В аналитических целях экономист принял решение перегруппировать магазины в порядке, представленном в таблице.

Тогда изменится и значение искомой средней величины.

Таким образом, средний месячный товарооборот магазинов розничной сети равен 3 260 204 руб.

Средняя величина абстрактна, поскольку для того, чтобы с ее помощью охарактеризовать совокупность различных величин, необходимо абстрагироваться от их индивидуальных различий. Таким образом, в средних погашаются индивидуальные различия единиц, обусловленные случайными факторами. Средняя всегда имеет единицу измерения такую же, как и осредняемый признак. Она рассчитывается для качественно однородной совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. Средние рассчитанные для неоднородной (разнородной) совокупности, как правило, вуалируют сущность явления, такие средние величины называют огульными или фиктивными средними. Неоднородную совокупность правильнее разделять на однородные группы и рассчитывать для них групповые средние.

Пример 5.20.

По результатам летней сессии в трех группах первого потока факультета знания студентов по общей теории статистики были оценены следующим образом.

Требуется определить средний балл оценки студентов по курсу общей теории статистики в каждой группе, а также по потоку в целом.

Решение

Рассчитаем групповые средние баллы студентов по статистике:

Рассчитаем средний балл студентов по статистике в целом по первому потоку:

Таким образом, средний балл по общей теории статистики студентов первой группы составляет 3,04, второй — 3,26, третьей — 3,32. Следовательно, успешнее всего экзамен по статистике сдала третья группа. Средний балл групп первого потока составил 3,20.

Особым образом понимается средняя величина качественного альтернативного признака^[2]. Под альтернативным признаком понимается признак, который имеет только два взаимоисключающих значения (примеры: качественная и некачественная продукция, мужской и женский пол и т. п.). В случае его наличия единице совокупности присваивается значение «1», а в случае отсутствия — «0». Средняя качественного альтернативного признака равна.

где р — доля единиц, обладающих признаком, в численности всей совокупности; q — доля единиц, не обладающих признаком.

Пример 5.21.

В двух поступивших на склад партиях холодильников контролерами качества были выявлены бракованные изделия. При этом в первой партии, состоящей из 40 единиц, процент брака оказался равен 2,5%, а во второй, состоящей из 50 холодильников, — 4%. Требуется определить средний процент бракованных и годных к продаже товаров.

Решение

где р — процент (доля) бракованных изделий;

где q — процент (доля) годных к продаже единиц в совокупности.

Таким образом, процент бракованной продукции в среднем по двум партиям составил 3,33%, а средний процент годных к продаже холодильников — 96,67%.

Формулы расчета средних величин приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Виды и формы средних величин.

Вид степенной средней.	Степень.	Формулы расчета.
		Простая средняя.	Взвешенная средняя.
Гармоническая.	— 1.
Г еомстрическая.
Арифметическая.
Квадратическая.
Кубическая.

Средние величины довольно широко применяются в современной статистике. Они представлены и в других главах учебника.

В частности, идея средних заложена в алгоритмы расчета показателей вариации, медианы и др. (подробно см. в гл. 6). Кроме того, среднее значение в различных рядах распределения может рассчитываться по-разному. Так, в биномиальном распределении средняя величина будет равна х = пр, в распределении Пуассона х = А, = S² = пр, в показательном распределении х = 8 = л/8², а в равномерном распределении —.

и т.д. (подробно этот вопрос рассматривается в гл. 9). В гл. 8 будет раскрыто понятие средней ошибки выборки. В рядах динамики обычно используется особый вид средней величины — средняя хронологическая, а также рассчитываются средние характеристики ряда — средний уровень ряда, средний теми изменения и др. (см. гл. 12). В гл. 13 будут описаны две группы показателей, тесно связанных с понятием средней величины, — средние индексы и индексы средних величин.

• [1] Определяющим свойством А. Я. Боярский называл одно из свойств совокупности, которое отображается средней величиной [5, с. 211—212].
• [2] Под альтернативным признаком понимается признак, которым обладаютодни единицы совокупности и не обладают другие.