Прогноз заработной платы

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Воронежский филиал

(МИИТ) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по «Эконометрике»

Воронеж

— 2010;

Задание № 1

Вариант № 1

По данным таблицы 1.1 требуется:

1. Для характеристики зависимости рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Таблица 1.1

Решение:

а) В соответствии с методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии имеет вид:

где

— параметры уравнения парной линейной регрессии.

При этом

— эмпирический корреляционный момент случайных величин

среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

дисперсия случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— объем выборки.

В нашем случае. Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.2

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения:

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значит с увеличением на 1 уменьшается в среднем на 1,691.

Таким образом, с увеличением среднедневной заработной платы работающего на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах) снижается в среднем на 1,691%.

Найдем линейный коэффициент парной корреляции, являющийся мерой тесноты связи между переменными и. Для этого воспользуемся формулой:

где

Итак,

Значит линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции характеризует зависимость от и меняется от -1 до 1.

По коэффициенту корреляции можно сделать вывод, что линейная связь между и обратная (так как) и весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод о том, что линейное уравнение вполне адекватно описывает зависимость между и (вариация на 99,7% объясняется влиянием показателя).

Точность модели характеризуется величиной отклонения расчетных значений от фактических. Средняя относительная ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических, определяется по формуле:

где

n — объем выборки,

значение регрессионной функции.

Составим расчетную таблицу:

Таблица 1.3

В нашем случае Таким образом, в среднем расчетные значения линейной модели

отклоняются от фактических на 0,59%.

Проверим значимость с доверительной вероятностью (то есть на уровне значимости) с помощью критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Фишера определяется как

Критическое значение критерия Фишера определяется как

по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора, где

число степеней свободы большей дисперсии,

число степеней свободы меньшей дисперсии

(число факторных переменных, определяющих модель).

При гипотеза об отсутствии линейной связи (то есть о том, что) отклоняется, и соответственно коэффициент парной корреляции является значимым.

При гипотеза об отсутствии связи линейной верна, и соответственно коэффициент парной корреляции является незначимым.

В нашем случае

Оказалось, что, следовательно, гипотеза об отсутствии линейной связи неверна, и соответственно коэффициент парной корреляции

является значимым.

Таким образом, найденное линейное уравнение в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах).

б) Найдем уравнение степенной регрессии:

Прологарифмируем обе части уравнения

После замены переменных получим линейную модель, то есть .

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.4

Получаем:

Тогда Параметры линейного регрессионного уравнения :

Соответственно параметры степенного регрессионного уравнения

Следовательно, уравнение степенной регрессии имеет вид:

Найдем коэффициент нелинейной парной корреляции (индекс корреляции) являющийся мерой тесноты связи между переменными и. Для этого воспользуемся формулой:

где

значение регрессионной функции в точке

Таблица 1.5

Следовательно, индекс корреляции для степенной модели :

По индексу корреляции можно сделать вывод, что степенная связь между и весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод о том, что степенное уравнение вполне адекватно описывает зависимость между и (вариация на 99,4% объясняется влиянием показателя).

Для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации составим расчетную таблицу:

Таблица 1.6

В нашем случае Таким образом, в среднем расчетные значения степенной модели

отклоняются от фактических на 0,786%.

Проверим значимость с доверительной вероятностью (то есть на уровне значимости) с помощью критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Фишера определяется как:

где число параметров при переменных ,

число наблюдений.

Критическое значение критерия Фишера определяется как

по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора, где

число степеней свободы большей дисперсии,

число степеней свободы меньшей дисперсии,

число параметров при переменных .

При гипотеза об отсутствии нелинейной связи (то есть о том, что) отклоняется, и соответственно индекс корреляции является значимым.

При гипотеза об отсутствии нелинейной связи верна, и соответственно индекс корреляции является незначимым.

В нашем случае

Оказалось, что следовательно, гипотеза об отсутствии нелинейной связи неверна, и соответственно индекс корреляции является значимым.

Таким образом, найденное степенное уравнение в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах.) При этом характеристики степенной модели указывают, что она несколько хуже линейной функции описывает эту зависимость.

в) Найдем уравнение показательной (экспоненциальной) регрессии:

Прологарифмируем обе части уравнения

После замены, получим линейную модель, то есть

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.7

Получаем:

Тогда Параметры линейного регрессионного уравнения

Соответственно параметры показательного регрессионного уравнения

Следовательно, уравнение показательной регрессии имеет вид:

то есть

Найдем коэффициент нелинейной парной корреляции (индекс корреляции) являющийся мерой тесноты связи между переменными и. Для этого воспользуемся формулой:

где значение регрессионной функции в точке

Таблица 1.8

Следовательно, индекс корреляции для показательной модели

По индексу корреляции можно сделать вывод, что показательная связь между и весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод о том, что показательное уравнение вполне адекватно описывает зависимость между и (вариация на 99,6% объясняется влиянием показателя).

Для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации составим расчетную таблицу:

Таблица 1.9

В нашем случае Таким образом, в среднем расчетные значения показательной модели отклоняются от фактических на 0,56%.

Проверим значимость с доверительной вероятностью (то есть на уровне значимости) с помощью критерия Фишера.

В нашем случае

Оказалось, что, следовательно, гипотеза об отсутствии нелинейной связи неверна, и соответственно индекс корреляции является значимым.

Таким образом, найденное показательное уравнение в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах). При этом характеристики показательной модели указывают, что она с примерно той же точностью, что и линейная функция описывает эту зависимость.

г) Найдем уравнение гиперболической регрессии:

После замены получим линейную модель

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.10

Получаем:

Тогда Параметры линейного регрессионного уравнения

Соответственно параметры гиперболического регрессионного уравнения

Следовательно, параметры гиперболической регрессии имеет вид:

Найдем коэффициент нелинейной парной корреляции (индекс корреляции), являющийся мерой тесноты связи между переменными и Для этого воспользуемся формулой:

где значение регрессионной функции в точке

Таблица 1.11

Следовательно, индекс корреляции для гиперболической модели

По индексу корреляции можно сделать вывод, что гиперболическая связь между и весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод о том, что гиперболическое уравнение вполне адекватно описывает зависимость между и (вариация на 92,34% объясняется влиянием показателя).

Для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации составим расчетную таблицу:

Таблица 1.12

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения гиперболической модели отклоняются от фактических на 2,63%.

Проверим значимость с доверительной вероятностью (то есть на уровне значимости) с помощью критерия Фишера.

В нашем случае Оказалось, что, следовательно, гипотеза об отсутствии нелинейной связи неверна, и соответственно индекс корреляции является значимым.

Таким образом, найденное гиперболическое уравнение в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах). При этом характеристики гиперболической модели указывают, что она несколько хуже линейной функции описывает эту зависимость.

Ответ: а) линейная модель

б) степенная модель

в) показательная модель

г) гиперболическая модель

все модели довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах); при этом самыми точными являются линейная модель и показательная модель

модель аппроксимация прогноз точность

Задание № 2

Вариант № 1

По данным таблицы 2.1 требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Таблица 2.1

Решение:

1) В соответствии с методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии имеет вид:

где

параметры уравнения парной линейной регрессии.

При этом

— эмпирический корреляционный момент случайных величин

среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

дисперсия случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины ,

— объем выборки.

В нашем случае Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 2.2

Получаем:

Тогда Параметры линейного регрессионного уравнения:

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:. Значит с увеличением на 1 увеличивается в среднем на 0,857.

Таким образом, с увеличением среднедушевого прожиточного минимума в день на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличивается в среднем на 0,857 руб.

2) Найдем линейный коэффициент парной корреляции, являющийся мерой тесноты связи между переменными и. Для этого воспользуемся формулой:

где среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

дисперсия случайной величины ,

— выборочное среднее значение случайной величины .

Итак, Значит линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции характеризует зависимость и и меняется от -1 до 1.

По коэффициенту корреляции можно сделать вывод, что линейная связь между и прямая (так как) и очень сильная, так как

Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод о том, что линейной уравнение вполне адекватно описывает зависимость между и (вариация на 73,3% объясняется влиянием показателя).

Точность модели характеризуется величиной отклонения расчетных значений от фактических. Средняя относительная ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических, определяется по формуле:

где объем выборки,

значение регрессионной функции в точке .

Составим расчетную таблицу:

Таблица 2.3

В нашем случае Таким образом, в среднем расчетные значения линейной модели

отклоняются от фактических на 2,1%.

3) Оценим статистическую значимость параметров регрессии и корреляции Проверим значимость с доверительной вероятностью (то есть на уровне значимости) с помощью критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Фишера определяется как:

Критическое значение критерия Фишера определяется как

по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора, где

число степеней свободы большей дисперсии,

число степеней свободы меньшей дисперсии,

(число факторных переменных, определяющих модель).

При гипотеза об отсутствии линейной связи (то есть о том, что) отклоняется, и соответственно коэффициент парной корреляции является значимым.

При гипотеза об отсутствии связи линейной верна, и соответственно коэффициент парной корреляции является незначимым.

В нашем случае Оказалось, что, следовательно, гипотеза об отсутствии линейной связи неверна, и соответственно коэффициент парной корреляции

является значимым.

Таким образом, найденное линейное уравнение в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой и среднедушевым прожиточным минимумом в день.

Значимость параметра линейного уравнения парной регрессии проверим с помощью критерия Стьюдента.

Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Стьюдента определяется как:

где число фактических наблюдений (в нашем случае);

значение регрессионной функции в точке .

Критическое значение критерия Стьюдента определяется как

по таблице критических точек распределения Стьюдента.

При гипотеза о равенстве нулю параметра линейного уравнения парной регрессии отклоняется, и соответственно параметр является значимым.

При параметр линейного уравнения парной регрессии является незначимым, его можно считать равным нулю.

Вычислим и

для чего составим расчетную таблицу:

Таблица 2.4

Таким образом, В нашем случае Оказалось, что, следовательно, гипотеза о равенстве нулю параметра линейного уравнения парной регрессии отклоняется, и соответственно параметр является значимым.

Значимость параметра линейного уравнения парной регрессии также проверим с помощью критерия Стьюдента.

Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Стьюдента определяется как:

где число фактических наблюдений (в нашем случае);

значение регрессионной функции в точке .

Критическое значение критерия Стьюдента определяется как

по таблице критических точек распределения Стьюдента.

При гипотеза о равенстве нулю параметра линейного уравнения парной регрессии отклоняется, и соответственно параметр является значимым.

При параметр линейного уравнения парной регрессии является незначимым, его можно считать равным нулю.

Ранее было найдено В нашем случае Оказалось, что, следовательно, параметр линейного уравнения парной регрессии является незначимым.

4) Выполним прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня, то есть при Прогнозное значение заработной платы определим по регрессионному уравнению, подставив в него прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума:

5) Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости

Средняя квадратическая ошибка прогноза находится по формуле:

где планируемая (прогнозируемая) величина среднедушевого прожиточного минимума (в нашем случае);

дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

число фактических наблюдений (в нашем случае);

число нормальных уравнений, связывающих независимые наблюдения случайной величины (в нашем случае);

значение регрессионной функции в точке, то есть значение заработной платы, рассчитанное по регрессионному уравнению

.

В нашем случае Значит средняя квадратическая ошибка прогноза Предельная ошибка прогноза определяется по формуле:

где критическое значение критерия Стьюдента, определяется как по таблице критических точек распределения Стьюдента;

средняя квадратическая ошибка прогноза.

Следовательно, в нашем случае предельная ошибка прогноза

Значит, доверительный интервал прогноза:

Таким образом, с вероятностью можно утверждать, что если среднедушевой прожиточный минимум составит руб. (107% от среднего уровня), то среднедневная заработная плата будет заключена в пределах от 136,915 (руб.) до 159,507 (руб.).

Ответ:1)

2)

3) является значимым; параметр является незначимым, а параметр является значимым;

4)

5) с вероятностью ,

1. Елисеева И. И., Курышева С. В., Горденко Н. М. и др. Эконометрика/Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Изд-во «Финансы и статистика», 2001.

2. Доугерти К.

Введение

в эконометрику. — М.: Изд-во Финансы и статистика, 1999.

3. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Начальный курс. — М.: Изд-во «Дело», 1998.