Понятие прямой и обратной пропорциональности

Прямая пропорциональность.

Математическая запись зависимостей между величинами выражается равенством y=z•x. Если одна из переменных x или y постоянна (пусть z=k=const), то получается равенство вида y=k•x. В этом случае говорят, что величина y прямо пропорциональна величине x.

Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана с помощью формулы вида.

y=k•x.

где x-независимая переменная, а kдействительное число, неравное нулю.

Число k при этом называют коэффициентом пропорциональности.

Пусть x₁ и x₂? 0 — два различных значения переменной x, тогда y₁ = k x₁, y₂ = k x₂. Так как x₂? 0 и k? 0, то y₂? 0. Тогда y₁ / y₂ = x₁ / x₂ .

Установленное свойство называют основным свойством прямой пропорциональности.

Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так: во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной у.

Областью определения функции у = kх является множество всех действительных чисел R.

При k > 0 функция у = kx монотонно возрастает на всей области определения, а при k < 0 монотонно убывает. Функция является нечетной, значит, график ее симметричен относительно начала координат. Известно, что графиком уравнения у = kx является прямая линия, проходящая через начало координат и имеющая угловой коэффициент k (Рис.1). Таким образом, коэффициент пропорциональности k совпадает с угловым коэффициентом графика функции у = kx.

Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно знать одну пару (x₀, y₀) (x₀? 0, y₀? 0) соответствующих значений. Тогда из равенства y₀ = k x₀ легко находим k = y₀ / x_{0 .}

Знание прямой пропорциональной зависимости позволяет использовать ее при решении задач в начальной школе. Так, при постоянной скорости пройденный путь у прямо пропорционален времени движения x, причем коэффициентом пропорциональности k является скорость. Аналогично, при постоянной цене товара его стоимость у прямо пропорциональна количеству товара x, а коэффициентом пропорциональности k является цена.

Более общей, чем прямая пропорциональность, является линейная зависимость между величинами.

Рассмотрим следующую задачу: «До перерыва работница упаковала вручную 20 коробок карандашей, а потом перешла на автомат, выпускающий 50 коробок в час. Сколько коробок выпустит упаковщица за смену, если проработает на автомате 2 ч? 3 ч? 4 ч?».

Очевидно, что зависимость между выполненным объемом работы у и временем работы упаковщицы на автомате х выражается формулой у = kх + Ь где b = 20 кор., а k = 50 кор./ч.

Свойства прямой пропорциональности:

• 1) Областью определения функции y=kx является множество действительных чисел R;
• 2) График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
• 3) При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения (при k<0, соответственно, убывает на всей области определения).
• 4) Если функция f — прямая пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) — пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y1/y2.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее ему положительное значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Обратная пропорциональность.

Возвращаясь к равенству y=zx, выражающему зависимость между тройками величин, зафиксируем теперь y, положив его равным k=const. Тогда z и x будут связаны соотношением k=z· x, или z=k/x. В этом случае говорят, что величины x и z находятся в обратно пропорциональной зависимости.

Примерами величин, находящихся в обратно пропорциональной зависимости, являются: скорость и время при постоянном расстоянии; цена и количество товара при постоянной стоимости; производительность труда и время при постоянном объёме работы; длина и ширина при постоянной площади прямоугольника и т. д.

Обратная пропорциональность — это функция, которая может быть задана при помощи формулы.

y=k/x.

где k — не равное нулю действительное число. Название функции y = k/x связано с переменными x и y, произведение которых равно некоторому действительному числу, не равному нулю.

Пусть x₁ и x₂? 0 — два различных значения переменной x, тогда y₁ = k/ x_1, y₂ = k/ x₂. Так как y₁? 0 и y₂? 0, то можем записать y₂ / y₁₌ k / x₂ :k / x₁₌ k x₁ / k x₂ = x₁ / x₂. Итак, y₂ / y₁ = x₁ / x_2. Это свойство называют основным свойством обратной пропорциональности.

Если значениями переменных x и y являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так:

Во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз уменьшается (увеличивается) значение переменной y .

Функция является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Если купили 12 кг муки и разложили её в x банок по y кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде x· y = 12, т. е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k =12.

Свойства обратной пропорциональности:

• 1) Областью определения и областью значений функции y=k/x является множество действительных чисел R, отличных от нуля.
• 2) График прямой пропорциональности — гипербола.
• 3) При k0, соответственно, убывает на всей области определения, ветви — вниз). (Рис.2).

4) Если функция f — обратная пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) — пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y2/y1.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа, то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно воспользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.