Прогноз среднего значения цены

Задача 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях.

1. Парные зависимости

1.1 Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически

1.2 Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии

.

1.3 С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9

1.4 Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9

1.5 Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний

1.6 На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95

Решение

1.1. По исходным данным построим поля рассеяния переменной у в зависимости от и .

Рис. 1.1. Поле рассеяния «возраст-цена автомобиля»

На основе анализа поля рассеяния (рис. 1.1), можно выдвинуть гипотезу о наличии обратной линейной связи между ценой автомобиля () и его возраста (), т. е. с увеличением возраста автомобиля цена на него уменьшается. Зависимость описывается линейной моделью вида:

где и — неизвестные постоянные коэффициенты, а — случайное отклонение, вызванное влиянием неучтённых факторов и погрешностями измерений.

Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 1.2) можно выдвинуть гипотезу между ценой автомобиля y и мощностью двигателя зависимость прямая, т. е. с увеличением мощности двигателя цена автомобиль возрастает. И зависимость описывается моделью:

Рис. 1.2 Поле рассеяния «мощность двигателя-цена автомобиля»

Найдем уравнения линейной регрессии

и

неизвестные коэффициенты находятся по формулам (используя метод наименьших квадратов (МНК)):

,

Для вычисления оценок параметров моделей составляем вспомогательную таблицу 1.1.

Таблица 1.1. Промежуточные расчеты для оценок параметров

Подставляя полученные значения найдем оценки параметров:

Таким образом,

Аналогично находятся оценки коэффициентов модели

Тогда ,

Таким образом, .

1.3 Коэффициент парной корреляции находится по формуле:

Подставляя соответствующие значения, получим Так как-0,997<0, то связь между признаками обратная, т. е. с ростом уменьшается y. Используя таблицу Чедока при определяем, что связь между признаками сильная.

Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента. При уровне значимости 0,9 табличное значение =1,76. Тогда

то существенно отличается от 0 и существует сильная линейная отрицательная связь между y и .

Аналогично проверим неравенство для :

Так как>0, то связь между признаками прямая, т. е. с ростом возрастает y. Используя таблицу Чедока при 0,952 определяем, что связь между признаками сильная.

Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента. При уровне значимости 0,9 табличное значение =1,76. Тогда

значит, существенно отличается от 0 и существует сильная линейная положительная связь между y и .

1.4 Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9 с помощью t — статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из показателей. Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

уравнения

Табличное значение для числа степеней свободы и составляет .

Определим случайные ошибки, , .

,

Таблица 1.2 Расчетная таблица

Тогда Так как <(1.76<142,98), < (1,76<44,85) и < (1.76<45,32), то гипотеза отклоняется, т. е. не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

для

для .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля. Следовательно, полученное уравнение линии регрессии статистически значимо в целом и его можно использовать для прогноза. Аналогично проведем оценку статистической значимости параметров, и уравнения регрессии

Определим случайные ошибки, , .

Составим расчетную таблицу

Тогда

Так как < (1.76<6,62), < (1.76<12,11), и <(1.76<11,61), то гипотеза отклоняется, т. е., и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для и .

Доверительные интервалы:

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и, находясь в указанных границах, не принимают нулевого значения, т. е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля. Следовательно, полученное уравнение линии регрессии статистически значимо в целом и его можно использовать для прогноза.

1.5. Доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста для уравнения регрессии находятся по формуле где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) — число степеней свободы;

,

Сначала рассмотрим уравнение

.

По условию задачи число степеней свободы 14 тогда, по таблице распределения Стьюдента находим t_0.95 = 2,14.

потребительский парный корреляция статистика стьюдент

Получим

Рассмотрим уравнение

Построим доверительные полосы надежности для средней цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также изобразим линию регрессии и поле рассеяний.

Построим доверительные полосы надежности для средней цены автомобиля в зависимости от его мощности двигателя, а также изобразим линию регрессии и поле рассеяний.

1.6 Аналогично, как в пункте 1.5. найдем доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля, если возраст автомобиля составляет 3

Заполним таблицу:

При возрасте автомобиля 3 года, средняя цена автомобиля будет находиться в интервале (15,572; 15,878) тыс.у.е.

Найдем доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля, если мощность двигателя составляет 165 л.с.

Заполним таблицу:

При мощности двигателя составляет 165 л.с., средняя цена автомобиля будет находиться в интервале (16,8; 18,347) тыс.у.е.

2. Множественная зависимость

2.1 По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

2.2 Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0.9

2.3 Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0.95

Решение

2.1 Уравнение регрессии будем искать в виде:

Введем следующие обозначения

Тогда

Вектор находится по формуле

В нашем случае

Тогда

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии

.

2.2 Вычислим коэффициент парной корреляции

Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0.9. Вычислим коэффициент множественной корреляции:

Составим расчетную таблицу

Тогда

Коэффициент множественной детерминации равен:

Зависимость от и характеризуется как средняя, в которой 68,9% вариации средней цены автомобилей определяется вариацией учтенных в модели факторов: среднего возраста автомобиля и средней мощности двигателя. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют 31,1% от общей вариации .

Проверим гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (), с помощью — критерия Фишера.

Найдем

Табличное значение при уровне значимости составляет

Сравнивая и, приходим к выводу к выводу о необходимости принять гипотезу, так как =2,76 <=14,4. С вероятностью 0.9 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались не под случайным воздействием факторов и .

2.3 Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0.95

Для =3; = 165 получаем точечный прогноз:

Для нахождения интервального прогноза вычислим значения всех параметров, входящих в формулу:

где , — соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала,

— вектор независимых переменных, для которого определяется интервал,

=2,16 — квантиль распределения Стьюдента,

— доверительная вероятность, n — количество наблюдений, (n-3) — число степеней свободы,

Получаем:

=0,28;; S =1,885; ;

И тогда и .

Таким образом, получили, что средняя цена автомобиля возраста 3 года и мощностью 165 л.с. будет заключена в интервале (14,24; 18,54) тыс.у.е.

3. Экономическая интерпретация

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение

На основании проведённых расчётов и полученных статистических характеристик можно сделать определённые выводы относительно взаимосвязей между исследуемыми экономическими показателями.

Так как и проверка значимости показала его существенное отличие от 0, то есть основания утверждать, что между y и существует сильная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии. Коэффициент = ?1,48 характеризует размер уменьшения цены на автомобиль, обусловленного увеличением возраста автомобиля на единицу. т. е. при увеличении возраста автомобиля на 1 год, средняя цена на автомобиль уменьшается на 1,48 тыс. у.е.

Значение 0,952 свидетельствует о сильной линейной связи между y и:. Коэффициент b₁ = 0,23 в уравнении показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. средняя цена автомобиля увеличивается на 0.23 тыс. у.е.

Коэффициент =-1,2 в уравнении показывает, что при увеличении возраста автомобиля на 1 год и неизменной мощности двигателя следует ожидать уменьшение цены автомобиля на 1,2 тыс. у.е. Коэффициент = 0,05 показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. и при неизменном возрасте автомобиля, следует ожидать увеличение цены автомобиля на 0.05 тыс. у.е.

Задача 2

В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице

1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать ее математически.

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда

3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0.975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0.975) для среднего объема продаж t=15.

Решение:

1. Представим графически ежемесячные объемы продаж автомагазина

На основании визуального наблюдения ломанной кривой, отражающей характер изменения по месяцам объема продаж автомобилей, выдвигаем гипотезу о линейном тренде. Следовательно, трендовая модель, отражающая изменение объема продаж автомобилей, запишется в виде:

где — неизвестные параметры, -случайное отклонение.

2. Коэффициенты регрессионного уравнения тренда находятся по методу наименьших квадратов и равны:

Воспользуемся вспомогательной таблицей:

И получим

Следовательно, уравнение линейного тренда будет иметь вид:

3. Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле

где

При уровне значимости 0,975 табличное значение =2,206.

Заполним вспомогательную таблицу:

В нашем случае

= 6,5;; S = 21.36

Результат запишем в виде таблицы

На рисунке изображены график тренда, доверительные интервалы (для t=1,6,12), и доверительная полоса.

4. Найдем точечный прогноз для среднего объема продаж на конец первого квартала:

376.85 тыс. у.е.

Аналогично пункту 3 решение запишем в виде таблицы:

Задача 3

1. Для регрессионных моделей и с помощью критерия Дарбина — Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости .

2. Для регрессионной модели проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а) парный коэффициент корреляции (приближенно);

б) критерий «хи-квадрат» на уровне значимости.

Решение:

Критерий Дарбина-Уотсона имеет вид

где — отклонения от линии регрессии, i=1,.n.

Проверим наличие или отсутствие автокорреляции для регрессионной модели:

Используя таблицу:

Находим

У нас n=16, m=2,, тогда =0,98 и =1,54.

Получаем, что выполняется условие: 4-< d <4 —, (2,46< 2,82< 3,02), то ничего нельзя сказать ни о присутствии и об отсутствии автокорреляции.

Для используя таблицу:

.

У нас n=12, m=1,, тогда =0,97 и =1,33.

Следовательно, условие <1,45<2,67) выполняется, значит, автокорреляция отсутствует.

2. Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для модели

а) Проверим значимость коэффициента :

Поэтому можно считать, что переменные x₁ и x₂ коррелируют между собой и, следовательно, мультиколлинеарность присутствует.

б) Вычислим определитель Найдем наблюдаемое значение

Табличное значение при и степенями свободы составляет 3,84. Сравнивая <(27.02>3.84), приходим к выводу о наличии мультиколлеарности.

Эконометрика/ Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001.

Практикум по эконометрике / Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001.