Пространства. 
Интеграл Римана

Рассмотрим теперь один из важнейших классов нормированных пространств (пространств, на которых задана норма. Нормой — функционал, заданный на пространстве X и удовлетворяющий, следующим аксиомам: 1).; 2) причём x=0; 3)) — пространства суммированных функций или пространства Лебега.

Сначала введём понятие пространства всех суммируемых функций L1 и изучим его свойства.

Пусть Xнекоторое пространство с мерой; при этом мера самого X может быть конечной или бесконечной. Меру будем считать полной, т. е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо. Рассмотрим совокупность всех функций f суммируемых на X. Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность с обычными операциями сложения и умножения их на число образуют линейное пространство. Обозначим его L1() или L1 и введём в нём норму следующим образом. (14).

По свойствам интеграла и модуля имеем:

и.

Однако, чтобы выполнялось последнее свойство нормы, а именно, если f, нужно считать, что функции эквивалентные друг другу на X (Отношение эквивалентности (~) на множестве Xэто бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия: 1) рефлективность:(f`~f, для любого f в X); 2) симметричность: (если f1~f2, то f2~f1); 3) транзитивность: (если f1~f2 и f2~f3, то f1~f3). Запись вида «f1~f2» читается как «f1эквивалентно f2». Говорят, что функция f1(x) эквивалентна функции f2(x) при x, если она допускает представление вида f1(x)=, где при x. В этом случае пишут — f1(x)~f2(x)) не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства L1. В частности, ненулевой элемент в L1 -это совокупность всех функций равных нулю почти всюду.

Определение -5. Функция называется равно нулю почти всюду, если она равна нулю всюду за исключением множества меры ноль.

Так вот, если считать функции эквивалентные друг другу на X за один элемент пространства L1, то выражение (14) будет удовлетворять всем указанным выше аксиомам нормы.

Введём следующее определение.

Определение -6. Пространством L1 называется нормированное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой суммируемых функций; сложение элементов в L1 и умножение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функций. А норма задаётся формулой .

В L1 расстояние вводиться, следующим образом (f, g)=. Сходимость последовательности в смысле этого расстояния называют сходимостью в среднем.

Замечание. Рассмотренное нами пространство можно считать состоящим из комплексных функций (комплексное L1) или из одних действительных (действительное L1).

Рассмотрим теорему, выражающую одно из важнейших свойств пространства. L1.

Теорема -11. Пространство L1 полно.

Доказательство. Согласно определению пространство называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходиться. Докажем, теперь этот факт для пространства L1.

Пусть{fn}-фундаментальная последовательность в L1. Тогда по определению фундаментальной последовательности следует, что.

при n, m.

Тогда можно найти такую возрастающую последовательность индексов (Последовательность {nk}элементов множества X называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий или другими словами {nk}- возрастающая), что.

d½k.

Из этого неравенства и из теоремы Б Леви, рассмотренной выше вытекает, что ряд сходиться почти всюду на X. (Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.) Но тогда и ряд сходиться почти всюду на X к некоторой функции f (x)=.

Таким образом, фундаментальная последовательность в L1 содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Покажем теперь, что подпоследовательность сходится к тойже функции f и в среднем. В силу фундаментальности последовательности {fn}, при любом фиксированном для всех достаточно больших k и l имеем.

Cгласно рассмотренной выше теоремы Фату, в этом неравенстве можно перейти к пределу под знаком интеграла при, получаем.

.

откуда следует, что f и что. Но из того, что фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама она сходиться к тому же пределу.

Теорема доказана.

Для всякой функции f суммируемой на X, и любого существует такая простая суммируемая функция, что .

Поскольку для простой суммируемой функции, принимающей значения y1, y2, на некоторых множествах E1, E2, интеграл определяется как сумма ряда (при условии его абсолютной сходимости, т .е. при условии, что сходится ряд), ясно, что всякую простую суммируемую функцию можно представить как предел (в среднем) последовательности простых функций, принимающих лишь конечное число значений. Итак в пространстве L1 всюду плотны функции, каждая из которых принимает лишь конечное число значений, т. е. представляют собой конечную линейную комбинацию индикаторов (Линейной комбинацией векторов называют вектор:

.

где коэффициенты линейной комбинации.).

Пусть R — метрическое пространство с введенной в нём мерой, удовлетворяющей такому условию: все открытые и все замкнутые множества в R измеримы, и для любого измеримого множества MR и любого найдётся такое открытое GM, что. Тогда верна следующая теорема:

Теорема-12. Множество всех непрерывных функций всюду плотно в L1().

Доказательство. В силу выше сказанного достаточно доказать, что всякая простая функция, принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций. Более того, так как всякая суммируемая простая функция, принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов измеримых множеств конечной меры, то достаточно провести доказательство для этих последних. Пусть M — измеримое множество в метрическом пространстве R и M)<. Тогда из условия сразу следует, что для любого найдутся замкнутое и открытое FM и GM множества соответственно, такие что FMMGM и)). Определим теперь функцию, следующим образом:

.

Эта функцию равна 0 при x и равна 1 при xОна непрерывна, так как каждая из функций и непрерывна и их сумма нигде не обращается в 0. Функция не превосходит 1 на и равна 0 вне этого множества. Следовательно, откуда и вытекает утверждение теоремы -12.

Замечание. Пространство L1() зависит и от выбора и от выбора меры в нём. Если мера сосредоточена в конечном числе точек, то L1() будет конечно мерным пространством.

Охарактеризуем, теперь пространства L1, бесконечной размерности, но содержащие счётное всюду плотные подмножество. Для этого ввёдём следующие понятие.

Определение -7. Мера называется мерой со счётным базисом, если существует такая счётная система ={An} {n=1,2,…} измеримых подмножеств пространства X (счётный базис меры), что для всякого измеримого MX и всякого найдётся такое Ak, что .

В частности, мера имеет счётный базис, если её можно представить как лебегово продолжение меры m, определённой на некотором счётном полукольце. В самом, в этом случае кольцо R () (Счетное) и представляет собой искомый базис. Отсюда видно, например, что мера Лебега имеет счётный базис на отрезке, поскольку для неё за исходное полукольцо можно принять совокупность полуинтервалов с рациональными концами.

• (Полукольцо — система S, для которой выполнены следующие условия:
  • 1); 3)

).

Произведение двух мер со счётным базисами также обладает счётным базисом, ибо конечные суммы произведений элементов из базиса меры на элементы из базиса меры образует базис меры. Поэтому мера Лебега на плоскости (а также и в n — мерном пространстве) имеет счётный базис.

Пусть есть счётный базис меры. Если его теперь, расширить, то можно получить новый счётный базис этой меры ,…, замкнутый по отношению к операциям вычитания и взятия конечных сумм и пересечений, т. е. являющийся кольцом.

Теорема- 13. Если мера имеет счётный базис, то в L1(X, существует счётное всюду плотное множество функций.

Доказательство. Покажем, что счётное всюду плотное множество в L1(X, образует конечные суммы: (15.), где — рациональные числа, аиндикаторы элементов счётного базиса меры.

Такое множество счётно. Покажем оно всюду плотно в L1(X,. Как мы показали ранее множество ступенчатых функций, принимающих лишь конечное число значений, всюду плотно в L1. Так как любую такую функцию можно сколь угодно точно заменить функцией такого же вида, но принимающую лишь рациональные значения, достаточно показать, что любую ступенчатую функцию f, принимающую значения y1, y2,…, yn, (все yiрациональны) на множествах E1, E2,…, En (= при i), можно сколь угодно точно заменить в смысле метрики L1 функциями вида (15.). Согласно сделанному замечанию можно без ограничений общности считать, что базис меры, является кольцом.

По определению счётного базиса меры, при любом в нём существуют такие множества A1, A2,…, An, что что .

Положим теперь, что A’k=Ak (k=1,2,…, n) и определим, следующим образом:

Легко видеть, что при достаточно малом мера {x:f (x)} сколь угодно мала и, следовательно, интеграл.

{x:f (x)} сколь угодно мал при достаточно малом.

В силу сделанных предположений относительно базиса меры, функция и есть функция вида (15.). Что и требовалось доказать.

Замечание. Для частного случая, когда X есть отрезок числовой прямой, амера Лебега, счётное всюду плотное множество в L1 можно получить проще, например, взяв множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Оно всюду плотно в множестве непрерывных функций, которые образуют всюду плотное множество в L1().

Таким образом, пространство L1 является полным нормированным пространствам. Однако оно не является евклидовым, т. е. определённую в нем норму нельзя задать с помощью какого — либо скалярного произведения. Это вытекает из теоремы параллелограмма: для того, чтобы нормированное пространство было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов, f и g, выполнялось равенство. Например, для интегрируемых на отрезке [0, 2] функций f, g=sinx соотношение 16. в L1 не выполняется.

Функциональное пространство не только нормированное, но и евклидово, можно поострить, взяв совокупность функций м интегрируемым квадратом. Рассмотрим такое пространство.

Будем сперва рассматривать действительную функции f, определённых на некотором пространстве X, почти всюду. Эквивалентные между собой функции не различаются.

Определение — 8. Функция f называется функцией с интегрируемым квадратом на X, если интеграл существует (конечен). Совокупность всех таких функций мы обозначим L2() или L2.

К основным свойствам функций с интегрируемым квадратом относятся, следующие утверждения:

Свойство — 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.

Это непосредственно вытекает из неравенства: и рассмотренных выше свойств интеграла Лебега.

Следствие. Всякая функция f с интегрируемым квадратом на пространстве с конечной мерой интегрируема.

Для доказательства достаточно, положив g (x), воспользоваться свойством 1.

Свойство — 2. Сумма двух функций из L2 также принадлежит L2.

Действительно, (f (x)+g (x))2=f2(x)+2f (x)g (x)+g2(x); в силу свойства 1 каждая из трёх функций, стоящих справа, интегрируема.

Свойство — 3. Если fL2 и — произвольное число, то .

Действительно, если fL2, то =.

Последние два свойства означают, что линейные комбинации функций из снова принадлежат и умножение их на числа удовлетворяют всем свойствам линейного пространства. Таким образом, совокупность функций с интегрируемым квадратом есть линейное пространство.

Определим теперь в скалярное произведение, положив: (f, g)=. Ясно, что при этом выполняются все свойства, входящие в определения скалярного произведения, а именно 1) (f, g)=(g, f); 2) (f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g); 3) (, g)=; 4) (f, f)>0, f. В частности свойство 4 -обеспечивается, тем, что по нашему предположению эквивалентные между собой функции не чем не различаются. (За нулевой элемент, таким образом, принимается совокупность всех функций на X, эквивалентных f0.).

Введём теперь точное определение пространства L2.

Определение — 9. Евклидовым пространством L2 называется линейное пространство, состоящее из классов эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой: (f, g)=.

В L2, как и во всяком евклидовом пространстве, выполнены неравенства Коши — Буняковского и треугольника, которые в данном случае имеют вид: и соответственно.

В частности, при и неравенство Коши — Буняковского принимает следующий вид: .

В пространстве суммируемых функций интегрируемым квадратом можно ввести норму следующим образом:. Расстояние в рассматриваемом нами пространстве между элементами f и g определяется формулой .

Замечание. Последнее утверждение называют также средним квадратичным уклонением функций и друг от друга.

Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства L2 называют сходимостью в среднем квадратичном.

Теорема -14. Пространство L2() при полно.

Доказательство. Пусть{fn}-фундаментальная последовательность в L2, т. е. при n, m. Тогда в силу выражения получаем.

.

т. е. последовательность {fn}-фундаментальна и в метрике пространства L1. Повторяя рассуждения, которые были проведены при доказательстве полноты пространства L1 выберем из {fn} подпоследовательность {}, сходящуюся почти всюду к некоторой точке f. В неравенстве справедливом для членов этой подпоследовательности при всех достаточно больших k и l, можно, используя рассмотренную выше теорему Фату, перейти к пределу при l. Тогда получим, откуда следует, что и что. Для завершения доказательства остаётся лишь, как и в теореме -11. воспользоваться тем, что, если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама она сходиться к тому же пределу. Ч. т. д.

Итак, мы рассмотрели функции с интегрируемым квадратом определенные на некотором пространстве X конечной меры. При этом условие использовалось довольно нами существенно. Именно, сначала мы прибегали к нему, доказывая, что всякая функция с суммируемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем — при выводе неравенства, на которое опиралось наше доказательство полноты пространства L2. Если рассмотреть функции на множестве бесконечной меры (например, на всей прямой с лебеговой мерой на ней), то не всякая функция из L2 будет содержаться в L1. Например, функция не интегрируема на все й прямой, а её квадрат интегрируем. Более того в случае когда имеет место неравенство, означающие, что из сходимости последовательности функций в L2 следует их сходимость в L1. В случае, когда это так же неверно: например, последовательность функций на прямой сходится к нулю в пространстве L2(-, функций с суммируемым квадратом, но не сходиться к ни какому приделу в L1(-,. Однако теорема о полноте пространства L2 остаётся справедливой и при.

Докажем это утверждение. Предположим, что всё пространство X можно представить как счётную сумму множеств конечной меры. Пусть X=,, при — такое представление и пусть {fn}-фундаментальная последовательность в L2(X,). Таким образом для каждого существует такое N, что для всех, N.

Введём обозначение Тогда в силу аддитивности интеграла Лебега, имеем.

.

Для каждого конечного M и подавно.

.

Совокупность функций с интегрируемым квадратом на каждом представляет собой полное пространство. Положив (где сходимость понимается как сходимость в пространстве L2(X,)), мы можем перейти к приделу при в неравенстве.

.

Тогда мы получаем.

Так как это неравенство выполнено для всех M, то в нём можно перейти к пределу при M. Таким образом, имеем.

.

Положив f (x)= при мы можем переписать последнее неравенство в виде. Отсюда вытекает как принадлежность f к L2(X,), так и сходимость последовательности {fn} к f. Ч. Т. Д.

Итак пространство L2(X,) функций с интегрируемым квадратом есть полное евклидово пространство. За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна.

Замечание: С точки зрения различных применений в анализе важно выяснить, когда пространство L2(X,) сепарабельно, т. е. содержит счётное всюду плотное множество. Рассматривая пространство L1(X,), мы установили, что для его сепарабельность вытекает из существования у меры счётного базиса. Нетрудно убедиться, что это же условие гарантирует и сепарабельность L2(X,. Действительно, каждую функцию из L2(X,) можно приблизить с любой точностью, функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры (если то этот шаг отпадает). Далее те же рассуждения, которые мы привили при доказательстве теоремы — 13, показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счётное всюду плотное множество.

Таким образом, если мера имеет счётный базис, то пространство L2(X, есть полное сепарабельное евклидово пространство. Другими словами, оставляя в стороне тот случай, когда L2(X, имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат: если мера имеет счётный базис, то L2(X, есть сепарабельное гильбертово пространство.

В силу теоремы об изоморфизме гильбертовых пространств, это означает, что все такие L2(X,) изоморфны между собой (Два Гильбертовых пространства. H и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, так, что если.

x (x, y, , то x+y=; и (x, y)=(,).

В частности, каждое такое L2(X,) изоморфно, пространству l2 числовых последовательностей с сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как L2(X,), когда Xсчётно, а определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки.

Замечание. Будем в дальнейшем рассматривать только L2(X,), отвечающие мерам со счётным базисом и обозначать каждое такое пространство L2.

Поскольку пространство L2 является гильбертовым пространством, то на него можно перенести все те понятия и факты, которые справедливы для абстрактного гильбертового пространства.

В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функционал в гильбертовом пространстве H записывается в виде скалярного произведения: F (h)=(h, a), где aфиксированный вектор из H. Поэтому всякий линейный функционал в L2 имеет вид: F (f)=, где — фиксированная функция с интегрируемым квадратом на X.

Замечание. До сих пор мы рассматривали только действительное пространство L2. Однако же все нами полученные результаты легко можно перенести на комплексный случай.

Определение -10. Комплексная функция f, определённая на некотором пространстве X с заданной на нём мерой, называется функцией с интегрируемым квадратом, если интеграл: конечен. Определив, сложение таких функций и умножение их на числа обычным образом и введя скалярное произведение по формуле (f, g)=, мы получаем евклидово пространство, называемое комплексным пространством L2. (При этом, как и в действительном случае, мы считаем эквивалентными между собой функции одним и тем же элементом пространства). Это пространство полно, а если мера имеет счётный базис, то и сепарабельно.

Таким образом, отбрасывая конечномерный случай, мы получаем, что комплексное пространство L2 отвечающее мере со счётным базисом, есть комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Все такие пространства изоморфны между собой.

Ранее мы ввели в пространстве функций с интегрируемым квадратом понятие нормы, мы определили тем самым для таких функций следующие понятие сходимости: fn f, если =0. Мы назвали такую сходимость сходимостью в среднем квадратичном. Посмотрим теперь, как такая сходимость связана с другими типами сходимости функциональных последовательностей.

Предположим сначала, что мера пространства — «носителя» X конечна. Тогда: 1) если последовательность {fn} функций из L2(X,) сходится в метрике L2(X,), то она сходиться и в метрике L1(X,).

Действительно, в силу неравенства:

имеем.

.

откуда и следует наше утверждение.

2). Если последовательность {fn} сходиться равномерно, то она сходиться и в среднем квадратичном.

Действительно, при каждом при всех достаточно больших n имеем и, следовательно, откуда вытекает наше утверждение.

3). Если последовательность суммируемых функций {fn} сходиться в среднем, то она сходиться на X и по мере.

Это утверждение сразу следует из рассмотренного выше неравенства Чебышева.

• 4). Если последовательность {fn} сходиться в среднем, то из неё можно выбрать подпоследовательность {}, сходящуюся почти всюду.
• 5). Это утверждение непосредственно следует из предыдущего утверждения и из следующей теоремы.

Теорема — 15. Пусть последовательность измеримых функций {fn (x)} сходиться по мере к f (x). Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность {, сходящуюся к f (x) почти всюду.

Нетрудно убедиться, что из сходимости некоторой последовательности в среднем (и даже в среднем квадратичном) не вытекает, вообще говоря, её сходимость почти всюду.

Действительно, последовательность {fn} функций, определенных следующим образом: fi (n)(x)=, сходится к f в среднем (и даже среднем квадратичном), но при этом она не сходится к 0 не в одной точке.

Обратно последовательность {fn} может сходиться почти всюду (и даже всюду) и не сходиться при этом среднем. Рассмотрим, например, на отрезке [0,1] последовательность функций: fn (x)= Очевидно, что fn (x)0 при всех x[0,1]. Но в то же время при всех .

Связь между различными типами сходимости в случае можно изобразить следующей схемой:

В случае, когда (например для функций на всей числовой прямой с мерой Лебега на ней) установленные выше связи уже не имеют места. Например, последовательность fn (x)= сходится равномерно на всей прямой к функции f, однако она не сходиться ни в среднем, ни в средним квадратичном. Далее, при, как мы отмечали раннее, сходимость в среднем квадратичном (т. е. в L2) не влечёт за собой сходимости той же последовательности в среднем (т. е. в L1).

Замечание. Из сходимости в среднем ни при, ни тем более при не следует, вообще говоря, сходимость в среднем квадратичном.