Делосская задача об удвоении куба

На острове Делос (в Эгейском море) распространилась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавиться от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объем не в 2 раза, а в 8 раз. Чума еще больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенника не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией» .

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку. Древние греки сравнительно легко решили задачу на удвоение квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Рассмотрим легенду.

Легенда. Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба переводится к геометрическому построению корня кубического из двух. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в ½ раз больший данного, т. е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его.

Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.

Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.

Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.

Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников.

Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.

Попытка решить задачу об удвоении куба при помощи циркуля и линейки.

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Если сторона определенного квадрата равняется a, а сторона искомого квадрата x, то, согласно условию задачи, будем иметь:

Откуда Чтобы построить, надо провести гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Далее отрезок, равный, увеличить в a раз. Если ребро данного куба положить равным a, а ребро искомого куба — x, то, согласно условию задачи будем иметь:

Откуда Однако все старания построить циркулем и линейкой не увенчались успехом.