Законы движения планет и спутников

Планеты солнечной системы обращаются вокруг Солнца по орбитам, которые можно считать круговыми. Причем плоскости этих орбит почти совпадают друг с другом. Движение планет подчиняется второму закону Ньютона. Для одной из планет уравнение ее движения имеет вид.

где М — масса Солнца, т — масса планеты, г — радиус орбиты. Это уравнение описывает также движение спутника Земли в том случае, когда он движется по круговой орбите.

Рис. 7.8. Движение тела т по круговой орбите под действием силы тяготения к массивному телу М.

Космические скорости

Запишем второй закон Ньютона для искусственного спутника Земли, движущегося, но круговой орбите, радиус которой почти равен радиусу Земли R :

где т — масса спутника, М — масса Земли. Разрешим уравнение (7.9) относительно скорости спутника. Получим.

При помощи формулы (7.7) это выражение можно преобразовать к вид}'.

Скорость такого спутника называется первой космической скоростью. Она имеет значение 8 • 10³ м/с.

Наименьшая скорость, которую необходимо сообщить телу на поверхности Земли для того, чтобы оно могло, преодолев ее притяжение, удалиться на бесконечно большое расстояние, называют второй космической скоростью. Ее значение можно установить при помощи закона сохранения энергии:

где v — скорость тела, когда оно находится на расстоянии г от центра Земли. Первое слагаемое в равенстве (7.12) есть кинетическая энергия тела, а второе — потенциальная энергия его взаимодействия с Землей.

Пусть телу у поверхности Земли сообщили скорость v₀. В таком случае энергия тела у поверхности Земли будет равна.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

На бесконечно большом расстоянии от Земли потенциальная энергия тела станет равна нулю, а скорость уменьшится до значения Vqq. Теперь энергия тела будет Согласно закону сохранения энергии эти значения энергии равны друг другу:

Это равенство приводит к соотношению.

из которого следует, что скорость v_Q принимает наименьшее значение, когда скорость тела на бесконечности равна нулю: Voo — 0. Таким образом придем к формуле для второй космической скорости.

Ее числовое значение равно 1,1−10⁴л</с.