Развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания

• Введение
• Глава 1. Теоретические основы развития логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
• 1.1 Характеристика логического мышления
• 1.2 Особенности логического мышления младших школьников
• 1.3 Математический смысл действий сложения и вычитания
• 1.4 Методический смысл действий сложения и вычитания
• 1.5 Методические средства, направленные на развитие логического мышления младших школьников при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
• Глава 2. Экспериментальная работа по развитию логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
• 2.1 Изучение исходного уровня развития логического мышления младших школьников
• 2.2 Разработка и внедрение методических средств, направленных на развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
• 2.3 Проверка эффективности разработанных методических средств
• Заключение
• Список литературы

На современном этапе развития педагогической науки и практики одной из важнейших является проблема построения таких моделей процесса обучения, которые были бы эффективны не только в плане формирования у младших школьников знаний, умений и навыков, но и в плане их психического развития и прежде всего развитие мышления. Этой проблемой занимались ученые, как: Эльконин Д. В., Выготский Л. С., П. Я. Гальперин, Л. С. Сахоров, Л. И. Божович.

Никто не будет с тем, что каждый учитель должен развивать мышление учащихся. Об этом говорится в объяснительных записках к учебным программам, об этом пишут в методической литературе для учителей. Однако, как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся доже старших классов не овладевает начальными приемами мышления, а этим приемом необходимо учить младших школьников.

Одним из средств развития мышления детей является изучение конкретного смысла действий сложения и вычитания. Решение этих действий связано с использованием таких мыслительных операций, как наблюдение, сравнение, обобщение. Эти действия формируют логический стиль мышления. Но более характерной чертой такого мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения определенных видов действий. Но число действий сложения и вычитания, представленных в действующих учебниках, значительно много, но исключением является Давыдовская программа, где в ней представлены действия величин. Таким образом, изучение конкретного смыла действий сложения и вычитания в начальном курсе математики, будет способствовать реализации не только образовательных, но и развивающих функций этого курса.

Цель данной работы заключается в изучении развития логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.

Объектом исследования является развитие логического мышления младших школьников на уроках математики.

Предмет исследования: развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.

Цель, объект и предмет исследования определяют следующие задачи:

1) Изучить научную, методическую литературу по проблеме логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания;

2) Изучить исходный уровень развития логического мышления младших школьников;

3) Разработать содержание методических средств направленных на развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания;

4) Проверить эффективность разработанных нами методических средств, направленных на развитие логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.

Гипотеза: целенаправленная разработка и применение методических средств на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания будет способствовать развитию логического мышления.

Методы исследования: теоретический анализ литературы, эксперимент, тесты, изучение продуктов исследования.

База исследования: МОУ СОШ № 66, 1″ В" класс.

Глава 1. Теоретические основы развития логического мышления младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания

1.1 Характеристика логического мышления

В математике существует множество различных действий сложения и вычитания для любого возраста. Они разнообразные и интересные, сложные и не очень. И каждый человек должен решать их самостоятельно, к каждому действию должен уметь находить индивидуальный подход.

Среди этих действий, решение которых, как считают методисты и учителя, способствуют умственному развитию младших школьников, значительное место занимают действия сложения и вычитания. Эти действия хорошо развивают мышление детей.

Мышление - есть опосредованное, обобщенное отражение действительности человеком в ее существенных связях и отношениях. На чувственной ступени познания внешние воздействия непосредственно, прямо приводят к возникновению соответствующих образов в нашем сознании. Отражение объективной действительности на логической ступени познания значительно сложнее. Оно носит не непосредственный, а опосредствованный характер, то есть совершается с помощью целой системы средств, которые обычно отсутствуют на чувственной ступени познания или, точнее говоря, представлены как проявления мышления на чувственной ступени познания. Если предложить ученикам представить себе, как выглядят жилища различных народов, то, вероятно, перед мысленным взором одних предстанут современные здания из стекла и бетона, другие увидят чум, покрытый шкурами животных, третьи представят себе причудливой формы погоду, четвертые — избу, до самой крыши занесенную снегом, и т. д. Возникшие в этом случае представления есть результат чувственного отражения действительности. Такие представления являются непосредственным воспроизведением тех реальных предметов или изображений, которые имелись в прошлом опыте человека.

Если изменить задание и предложить ученикам ответить на вопрос: «Что такое жилище человека?», то для этого обязательно нужно представить себе, как выглядят различные жилища, но этого не достаточно. Необходимо сравнить между собой различные виды жилищ, а для того чтобы сравнить их, нужно выделить признаки, присущие тем или иным из них. При этом, очевидно, окажется, что одни признаки будут общими, другие — резко различными. Для того чтобы сказать, что такое жилище вообще, нужно будет отвлечься от особых признаков и объединить то общее, что присуще каждому из видов жилищ. Только совершив подобные мыслительные операции, окажется возможным дать общее определение тому, что такое жилище человека. Создание такого определения является уже не чувственной, а логической ступени познания, является результатом мышления человека. Решение поставленной задачи оказалось возможным только с помощью определенной системы мыслительных операций.

Осуществлением мышления посредствам мыслительных операций характеризует мышление как опосредствованное отражение действительности.

Кроме того, мышление всегда и обязательно строится на основе чувственного отражения мира, то есть образы чувственного познания являются материалом, с помощью которого только и может осуществиться отражение на уровне мышления.

Отражение действительности на уровне мышления опосредствованно также и словом. Вернемся к примеру. Представления конкретных жилищ возникают в сознании человека в виде соответствующих образов. Общее же определение жилища может быть дано только посредством слова.

Мышление является опосредствованным отражением действительности и потому, что оно всегда протекает с опорой на имеющиеся у человека знания.

Отражение действительности на уровне мышления носит обобщенный характер. Такое обобщение является результатом анализа и сравнения отдельных объектов, выделения и абстрагирования того, что в них является общим. Выделяя общее, мы обычно опираемся не только на те объекты, которые воспринимаем в данный момент, но используем и те представления, которые имеются в нашем прошлом опыте. Чем шире, богаче прошлый опыт, тем более широким и глубоким оказывается и обобщение человека.

Действительно, чтобы найти общее у разных предметов, должны быть совершены анализ и сравнение этих объектов, должно совершиться отвлечение и абстрагирование общего. Кроме того, отразить общее невозможно в виде конкретных образов. Это может быть выполнено только в словесной форме. Все это дает право говорить, что обобщенное отражение действительности теснейшим образом взаимосвязано с опосредствованным характером отражения действительности.

Опосредствованный и обобщенный характер мышления обеспечивает познание человеком, как явлений, так и их сущности. Благодаря мышлению, человек отражает не только то, что может быть непосредственно воспринято органов чувств, но и то, что скрыто от восприятия и может быть познано лишь в результате анализа, сравнения, обобщения. Мышление позволяет устанавливать различные связи и отношения. Особенно большое отношение имеет установление причинно — следственных связей, раскрытие которых, с одной стороны, позволяет понять, как и почему возникают те или иные явления, а с другой — создает возможность прогнозировать будущее.

Выявление существенных признаков оказывается возможным далеко не при любом сравнении и анализе того или иного объекта. Если равнение будет идти только на основе чувственно воспринимаемых признаков, сущность раскрыта не будет. Для ее раскрытия необходимо включить отражаемый объект в различные системы связей и отношений. Так, в нашем примере для раскрытия сущности того, что такое жилище человека, необходимо рассмотреть конкретные виды жилищ в связи с определенными географическими, климатическими, социально — экономическими условиями их создания, соотнести конкретно — историческими потребностями людей и т. д. Только в процессе установления всего многообразия подобных связей оказывается возможным раскрыть сущность явления. Именно раскрытие сущности явления путем включения его в различные системы связей и отношений есть третья отличительная особенность мышления.

Мышление, как продукт общественно - исторического развития носит общественно - исторический характер.

Общественно — историческая обусловленность мышления определяется тем, что в каждом акте познания действительности человек опирается на опыт, накопленный предшествующими поколениями (а опыт является одним из средств отражения действительности на уровне мышления), оперирует тем словарным запасом языка, который создан предшествующими поколениями как средство выражения, обобщения и сохранения результатов познавательной деятельности людей.

Широта обобщения и глубина раскрытия сущности явлений также обусловлены не только индивидуальными возможностями человека, но и всегда являются и результатом познания действительности, достигнутого на данном уровне исторического развития человеческого общества.

Таким образом, хотя мышление каждого человека формируется и развивается в процессе его собственной активной познавательной деятельности, содержание и характер мышления человека обусловлены общим уровнем познания, существующим на данном этапе общественного развития. Это положение, прежде всего, и дает право говорить, что мышление есть продукт общественно — исторического развития.

Об общественно — историческом характере мышления можно говорить и потому, что процесс познания на логической ступени обусловлен потребностями общества, то есть мысли человека направляются на решение тех задач, которые являются наиболее актуальными на существующем историческом этапе. Как много усилий направленно в настоящее время на поиск тех путей, которые обеспечат сохранение природной среды, позволят найти новые энергетические ресурсы, обеспечат сохранение здоровья людей и т. д.

Специально стоит подчеркнуть, что общественно — исторический характер мышления человека становиться все боле ярко выраженным.

Постоянное развитие общественно — исторического характера мышления обусловлено тем, что познавательная деятельность людей все в большей мере становится коллективной. В настоящее время решение проблем, стоящих перед людьми в одной какой — то области, оказывается невозможным без привлечения данных, полученных в других областях знаний. Необходимость использовать опыт, накопленный в различных сферах человеческой деятельности, заставляет привлекать к решению каждой конкретной проблемы различных специалистов. Это и обуславливает расширение, коллективного характера познавательной деятельности людей, а, следовательно, усиливает общественно — историческую сущность мышления человека. [10]

Впоследствии этого можно сказать, что мышление человека развивается, его интеллектуальные способности совершенствуются. К этому выводу уже давно пришли психологи. Один из наиболее известных психологов современности, швейцарский ученый Ж. Пиаже предложил теорию развития интеллекта в детстве, которое оказало большое влияние на современное понимание его развития. В теоретическом плане он придерживался мысли о практическом, деятельностном происхождении основных интеллектуальных операций.

Теория развития мышления ребенка, предложенная Ж. Пиаже, получила название «операциональной» (от слова «операция»). Операция, по Пиаже, представляет собой «внутренние действия, продукт преобразования („интериоризации“) внешнего, предметного действия, скоординированного с другими действиями в единую систему, основным свойством которой является обратимость (для каждой операции существует симметричная и противоположная операция)» .

В нашей стране наиболее широкое практическое применение в обучении мыслительным действиям получила теория формирования и развития интеллектуальных операций, разработанная П. Я. Гальпериным. В основу данной теории было положено представление о генетической зависимости между внутренними интеллектуальными операциями и внешними практическими действиями. Он внес в соответствующую область исследований новые идеи. Им была разработана теория формирования мышления, получившая название концепции планомерного формирования умственных действий. Гальперин выделил этапы интериоризации внешних действий, определил условия, обеспечивающие их наиболее полной и эффективной перевод во внутренние действия с заранее заданными свойствами.

Особое место в исследованиях, посвященных развитию мышления, принадлежит изучению процесса формирования понятий. Он представляет собой высший уровень сформированности речевого мышления, а также и высший уровень функционирования, как речи, так и мышления, если их рассматривать в отдельности.

С рождения ребенку даны понятия, и этот факт в современной психологии считается общепризнанным. Как же формируются и развиваются понятия?

Данный процесс представляет собой усвоение человеком того содержания, которое заложено в понятии. Развитие понятия состоит в изменении его объема и содержания, в расширении и углублении сферы применения данного понятия.

Образование понятий — результат длительной, сложной и активной умственной, коммуникативной и практической деятельности людей, процесса их мышления. Образование понятий у индивида своими корнями уходит в глубокое детство. Л. С. Выготский и Л. С. Сахаров были одними из первых ученых — психологов в нашей стране, кто детально исследовал этот процесс. Они установили ряд стадий, через которые проходит образование понятий у детей.

Сущность методики, которую применили Л. С. Выготский и Л. С. Сахаров, сводится к следующему. Испытуемому предлагается два ряда стимулов, которые выполняют различную роль по отношению к поведению: один — функцию объема, на который направленно поведение, а другой — роль знака, с помощью которого поведение организуется.

Например, имеется 20 объемных геометрических фигур, различных по цвету, форме, высоте и размеру. На нижнем плоском основании каждой фигуры, скрытом от взора испытуемого, написаны незнакомые слова, обозначающие усваиваемое понятие. Данное понятие включает в себя одновременно несколько из указанных выше признаков, например, размер, цвет и форму.

Экспериментатор на глазах у ребенка переворачивает одну из фигур и дает ему возможность прочесть написанное на ней слово. Затем он просит

испытуемого найти все остальные фигуры с тем же самым словом, не переворачивая их и пользуясь только признаками, замеченными на первой показанной экспериментатором фигуре. Решая эту задачу, ребенок вслух должен объяснить, на какие признаки он ориентируется, подбирая к первой фигуре вторую, третью и т. д.

Если на каком-то шаге испытуемым допущена ошибка, то экспериментатор сам открывает следующую фигуру с нужным названием, но такую, на которой есть признак, не учтенный еще ребенком.

Описанный эксперимент продолжается до тех пор, пока испытуемый не научится безошибочно находить фигуры с одинаковыми названиями и определять признаки, входящие в соответствующее понятие.

С помощью этой методики было установлено, что формирование понятий у детей проходит через три основные ступени:

логическое мышление сложение вычитание

1. Образование неоформленного, неупорядоченного множества отдельных предметов, их синкретического сцепления обозначаемого одним словом.

2. Образование понятий-комплексов на основе некоторых объективных признаков.

3. Образование настоящих понятий. Здесь предполагаются умения ребенка выделить, абстрагировать элементы и затем интегрировать их в целостное понятие вне зависимости от предметов, которым они принадлежат.

Синкретическое мышление и мышление в понятиях-комплексах характерны для детей раннего, дошкольного и младшего возраста. К мышлению в настоящих понятиях ребенок приходит только в подростковом возрасте под влиянием обучения теоретическим основам разных наук. Факты, полученные Л. С. Выготским и Л. С. Сахаровым, в этом плане вполне согласуются с теми данными, которые в своих работах по развитию детского интеллекта приводит Ж. Пиаже. С подростковым возрастом у него связан переход детей к стадии формальных операций, которая, предполагает умение оперировать настоящими понятиями.

Мышление в отличие от других процессов совершается в соответствии с определенной логикой. Соответственно, в структуре мышления можно выделить следующие логические операции: сравнение, анализ, синтез, абстракция и обобщение.

Сравнение скрывает тождество и различие вещей. Результатом сравнения, кроме того, может стать классификация. Не редко она выступает как первичная форма теоретического и практического познания.

Более глубокое проникновение суть вещей требуют раскрытия их внутренних связей, закономерностей и существенных свойств. Оно выполняется при помощи анализа и синтеза. Анализ — это расчленение предмета, мысленное или практическое, на составляющие его элементы с последующим их сравнением. Синтез есть построение целого из аналитически заданных частей. Анализ и синтез обычно осуществляется вместе, способствуют более глубокому познанию действительности.

Абстракция — это выделение, какой — либо стороны или аспекта явления, которые в действительности как самостоятельные не существуют. Абстрагирование выполняется для более тщательного их изучения и, как правило, на основе предварительно произведенного анализа и синтеза. Результатом всех этих операций нередко выступает формирование понятий.

Абстрагированными могут стать не только свойства, но и действия, в частности способы решения задач. Их использование и перенос в другие условия возможны лишь тогда, когда выделенный способ решения осознан и осмыслен безотносительно к конкретной задаче.

Обобщение выступает как соединение существенного (абстрагирование) и связывание его с классом предметов и явлений. Понятие становится одной из форм мысленного обобщения.

Конкретизация выступает как операция, обратная обобщению. Она проявляется, например, в том, что из общего определения — понятия — выводится суждение о принадлежности единичных вещей и явлений определенному классу.

Кроме рассмотренных операций, имеется еще и процессы мышления. К ним относятся: суждение, умозаключение, определение понятий.

Суждение — это высказывание, содержащее определенную мысль.

Умозаключение представляет собой серию логически связанных высказываний, из которых выводятся новые знания.

Определение понятий рассматривается как система суждений о некотором классе предметов (явлений), выделяющая наиболее общие их признаки. [8]

Кроме рассмотренных операций и процессов мышления существуют основные виды мышления:

1) практически — действенное мышление;

2) наглядно — образное мышление;

3) словесно — логическое мышление;

4) теоретическое понятийное мышление;

5) наглядно — действенное.

Одним из ведущих видов мышления является словесно - логическое мышление. Особенностью этого вида мышления то, что задача здесь решается в словесной (вербальной) форме. Используя словесную форму, человек оперирует наиболее отвлеченными понятиями, подчас такими, которые вообще не имеют прямого образного выражения. Именно этот вид мышления позволяет устанавливать наиболее общие закономерности, определяющее развитие природы и общества, самого человека. Благодаря этому виду мышления, человеку удается наиболее обобщенно решать мыслительные задачи. В этом главное достоинство, но и возможные недостатки данного вида мышления.

С помощью слова человек не только обозначает, но и обобщает различный образный материал, практические действия, в то же время слово никогда не может исчерпать всего богатства образа, передать со всей полнотой практические действия человека. Можно составить очень хороший рассказ о музыкальном произведении, но это никогда не обеспечит полную передачу всего того, что составляет музыкальный образ, можно подробно описать то или иное практическое действие человека, но и в этом случае словесное выражение не исчерпает всего того, что представляет собою данное действие.

В процессе обучения перед учителем постоянно стоит задача всемерного развития словесно — логического мышления, так как только в этом случае учащиеся смогут овладеть понятиями, особенно их системами, понять закономерности той или иной науки. Но при этом не менее важно помнить, что отвлеченные знания в словесной форме не исчерпывают всего богатства объективной действительности.

В практической мыслительной деятельности человека все виды мышления неразрывно взаимосвязаны. Эта взаимосвязь обусловлена уже тем, что фактически мы не совершаем ни каких практических действий без того, что бы у нас не возник соответствующий образ действия, что бы мы словесно не обозначили то или иное действие. С другой стороны, оперируя самыми отвлеченными понятиями, мы, как правило, опираемся и на более или менее соответствующие им образы и т. д.

Эта взаимосвязь видов мышления находит свое выражение и в постоянных взаимопереходах одного вида мышления в другой. Достаточно вспомнить уже сказанное выше. Трудно, а фактически подчас и невозможно провести грань между наглядно-образным и словесно-логическим мышлением в тех случаях, когда содержанием задачи являются различные схемы, графики, символические обозначения.

Специально подчеркивая взаимосвязь различных видов мышления, не менее важно постоянно помнить об их специфике. Только развитие всех видов мышления в их единстве может обеспечить правильное и достаточно полное отражение действительности человеком.

Имея в виду, необходимость развития всех видов мышления и помня, что вид мышления существенно зависит от содержания решаемой задачи, очень важно в процессе обучения максимально разнообразит предлагаемые школьникам учебные задачи.

Имеются весьма убедительные данные, которые показывают, как, изменяя содержание обучения, удается эффективно развивать различные виды мышления. Сошлемся на такой пример. До начала 60-х годов в психологии широко было распространено мнение об исключительно наглядно-образном характере мышления младших школьников. Однако, когда в ходе перестройки школьного обучения резко увеличили удельный вес абстрактного материала, оказалось, что и у младших школьников достаточно успешно развивается словесно — логическое мышление. [10]

1.2 Особенности логического мышления младших школьников

Процесс мышления и речи составляет сложные единства. Мышление не «связано» с языком, но выражено в языке это было с предельной четкостью высказано К. Марксом, который говорил о том, что язык есть непосредственная действительность мысли.

Несмотря на то, что в онтогенезе отношения мышления и речи своеобразны и изменчивы, невозможно изучать процесс мышления у младших школьников вне анализа развития его речи. [7]

Младший школьник — это начало общественного бытия человека как субъекта деятельности, в данном случае учебной. В этом качестве младший школьник характеризуется прежде всего готовностью к ней. Она определяется уровнем физиологического и психического, прежде всего интеллектуального развития, обеспечивающего возможность учиться. В исследованиях Л. И. Божович, Д. Б. Эльконина, Н. Г. Салминой, Н. И. Гудкиной описаны основные показатели готовности ребенка к школе: сформированность его внутренней позиции, семиотической функции, произвольности, умение ориентироваться на систему правил и др. Готовность к школьному обучению означает сформированность отношения к школе, учению, познанию как к радости открытия, вхождения в новый мир, мир взрослых. Это готовность к новым обязанностям, ответственности перед школой, учителем, классом. Ожидание нового интерес к нему лежит в основе учебной мотивации младшего школьника. Именно на интересе как эмоциональном переживании познавательной потребности базируется внутренняя мотивация учебной деятельности, тогда познавательная потребность младшего школьника «встречается» с отвечающим этой потребности содержанием обучения.

Готовность ребенка к школе определяется удовлетворением целого ряда требований. К ним относятся:; общее физическое развитие ребенка, владением достаточным объемом знаний, владение «бытовыми» навыками самообслуживания, культуры поведения, общения, элементарного труда; владение речью; предпосылки овладения письмом (развитие мелкой мускулатурой кисти руки); умение сотрудничества, желание учиться. Необходимые для школьника как субъекта учебной деятельности интеллектуальные, личностные, деятельностные качества формируются буквально с момента рождения. От уровня их сформированности в значительной мере зависит вхождение ребенка в школьную жизнь, его отношение к школе и успешность обучения, включаемость в учебную деятельность.

Учебная деятельность, включающая овладение новыми знаниями, умениями решать разнообразные задачи, радость учебного сотрудничества, принятие авторитета учителя, является ведущей в этот период развития человека, находящегося в образовательной системе.

В учебной деятельности младшего школьника формируются такие частные виды деятельности, как письмо, чтение, работа на компьютере, изобразительная деятельность, начало конструкторско-композиционной деятельности.

Также в начальной школе у младшего школьника формируются основные элементы ведущей в этот период учебной деятельности, необходимые учебные навыки и умения. В этот период развиваются формы мышления, обеспечивающие в дальнейшем усвоение системы научных знаний, развитие научного, теоретического мышления, обеспечивающие в дальнейшем усвоение системы научных знаний, развитие научного, теоретического и логического мышления. [3]

Логическое мышление дошкольника в любой форме отличается некоторыми общими характерными чертами. Например, сравнивая две фигурки слонов, разных по цвету, величине, фактуре и позе, дети (2 г. — 2 г. 5 мес.) говорят: «Этот большой слон, а этот сидит» или: «Этот хобот к верху держит, он весь красный, а этот маленький, беленький…»; «Елка не похожа на березу, — говорит девочка (4 г. 5 мес.). — Елка вся зеленая, а березки ствол белый с черточками, и листики на ней» .

Такое не последовательное использование сравнения говорит о том, что ребенок еще не владеет этой умственной операцией, хотя пытается сопоставлять в чем — то сходные предметы. Он правильно выделяет в каждом из них отдельные познавательные, отличительные признаки (цвет, позу), но в четырехлетнем возрасте еще не знает, что надо в каждом сравниваемом предмете выделять однородные признаки и сопоставлять их попарно: цвет с цветом, позу с позой, величину с величиной. Такой операции ребенка надо обучать, это и делает воспитатель в дидактических играх, на занятиях в быту.

Неправильно и утверждение В. Штерна, что ребенку — дошкольнику недоступны причинно-следственные связи в предметах и явлениях, недоступны и высшие формы логического мышления, в частности умозаключения. Приводя отдельные примеры детских умозаключений, В. Штерн приходит к выводу о том, что ребенок действует путем трансдукции, то есть делает вывод, идя от одного частного случая (факта) к другому, тоже единичному случаю, минуя общее.

Однако факты убедительно показывают, что ребенок 3−5 лет может делать совершенно правильные выводы путем индуктивных умозаключений. Это показали в своем исследовании А. В. Запорожец и У. В. Ульенкова. Авторы давали возможность этим 3−6 лет приобрести некоторый опыт. В таз с водой опускались последовательно различные предметы: спичка, гвоздик, английская булавка, пробка, маленькая дощечка и др. Но прежде чем опустить предмет в воду, экспериментатор спрашивал ребенка, поплывет этот предмет или утонет. Естественно, дети сначала лишь гадали, и их предположения часто оказывались неправильными. Но постепенно дети начинали выделять те признаки, которые, по их мнению, были либо существенны для плавучести предмета, либо вели к тому, что предмет тонул. Многие дети сначала выделяли величину предмета как существенный признак. Но проверка на практике показывала, что гвоздик, хоть и маленький, все равно тонет, а большой спичечный коробок легко держится на воде. Постепенно дети пришли к правильному выводу: все деревянное плавает, а железное (металлическое) тонет.

Таким образом, можно сказать, что дети дошкольного возраста могут высказывать правильные логические суждения и делать относительно верные выводы.

Особенности логического мышления младших школьников отчетливо выступают в любых выполняемых ими мыслительных операций. Сравнение является основой всякой последующей группировки, классификации и систематизации предметов и явлений. Используя сравнение, человек узнает особенности каждого нового предмета или групп. В процессе обучения младших школьников сравнение играет важнейшую роль.

В процессе обучения все мыслительные операции, в том числе и операция сравнения. Учащиеся 1−3 классов уже могут успешно сравнивать предметы по представлению, а затем и абстрактные понятия.

Отчетливо выявляются особенности развития логического мышления при изучении его различных форм и процессов: умозаключений, классификации, причинно-следственных связей, понятий. Одной из этих особенностей является сохранение метода «короткого замыкания», характерного для дошкольников.

У младших школьников сохраняется в известной мере стиль мышления старших дошкольников. В поставленной задаче ребенок выхватывает какой-то один признак, условие, сторону и сразу переходит к выводу. По существу, полученный ответ не является синтезом, поскольку он не подготовлен соответствующим анализом. Происходит расслоение аналитико-синтетической мыслительной деятельности — нарушается целостность мыслительного процесса. [7]

Младшие школьники при условии понятий часто смешивают в процессе обобщения признаки существенные и несущественные. Это приводит к ошибкам: или к неоправданному сужению объема понятий, или к неоправданному расширению их объема. Примерами сужений объема понятия являются факты, когда младшие школьники, не относя к растениям грибы потому что, «у них нет листьев», насекомых — к животным потому, что «они маленькие». Примеры расширения объема понятия — такие обобщения школьников, когда они к одной группе относят насекомых и птиц потому, что «они летают», кита и дельфина — к рыбам потому, что «живут в морях и плавают» и т. п.

Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или иное положение более или менее уверенно и правильно тоже приходит постепенно и в результате специальной организации учебной деятельности, когда учитель ставит учащихся в такие условия, когда они должны самостоятельно сделать те или иные выводы и заключения. [6]

Опираясь на эти способности можно развивать логическое мышление младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.

1.3 Математический смысл действий сложения и вычитания

Сложение

Действие сложение и вычитание рассматривается с точки зрения различных теорий: количественной теории, аксиоматической теории и теории измерения величин.

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное число» и «предшествующее число» .

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу? прибавить 1, то получим число ?ґ, следующее за ?, т. е. ?+1=?ґ, и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу? натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2+3=5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. происходит так потому, что в сумме 2+4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. таким образом, сумму ?+bґ можно найти, если известна сумма ?+b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1) (ЃН? Ѓё N) ?+1=?ґ

2) (ЃН ?, b Ѓё N) ?+bґ= (?+b) ґ.

3) Число ?+b называется суммой чисел? и b, а сами числа? и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел? и b сумма ?+b - единственна. другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она? [11]

С точки зрения количественной теории сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Если A и B — конечные множества и A? B = Ш, то m (A U B) = m (A) +m (B). Именно этот факт положен в основу определения суммы целых неотрицательных чисел, где m (A) — это численность множества A;

m (B) — это численность множества B.

Суммой целых неотрицательных чисел ? и b называется целое неотрицательное число ?+b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств A и B таких, что m (A) = ?, m (b) =b.

?+b = m (A U B), где ?= m (A); b = m (B); A ? B = Ш

Число? и b при этом называются слагаемыми.

Операция, с помощью которой по данным целым неотрицательным числам? и b находится целое неотрицательное число c, являющееся их суммой, называется сложением.

Коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных чисел вводится на конкретных примерах и задачах, решение которых связано с необходимостью объединять рассматриваемые множества и пересчитывать элементы в полученном объединении.

При непосредственном сравнении измерения величин можно установить равно они или нет. Если величины не равны, то можно указать, какая из них меньше, а какая больше. Для того чтобы получить более точный результат, необходимо величины измерить. Измерение различных величин, в техническом отношении, носит совершено различный характер. Для дли он один, для масс — он другой, для времени — третий и т. д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т. е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.

Длина является величиной характеризующей пространственную протяженность объектов. Тем самым можно выяснить смысл арифметических операций над натуральными числами, рассматриваемые как меры длин отрезков.

Пусть отрезок z состоит из отрезков x и y, и пусть длины этих отрезков при выбранной единице e выражаются натуральными числами c, ?, b, т. е. c= m _{e (z),? = me (x), b= m e (y). Это означает, что отрезок x состоит из? отрезков, равных e; отрезок y состоит из b отрезков, равных e. Следовательно, весь отрезок z состоит из ?+b отрезков, равных e т. е. me (z) = c = ?+b = me (x) +me (y). Таким образом, можно дать определение суммы натуральных чисел:}

Суммой натуральных чисел ? и b называется натуральное число ?+b, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ? и b:

?+b= m_{e (z), где z= x+y; me (x) = ?; me (y) = b}

Существование и единственность суммы натуральных чисел вытекают из существования и единственности меры длины отрезка при выбранной единицы измерения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения целых неотрицательных чисел:

1. (ЃН?, b Ѓё N_{e) (?+b= b+?) — коммутативный закон сложения.}

(ЃН?, b, c Ѓё N_{e) ((?+b) + c = ?+ (b+c)) — ассоциативный закон сложения. [1]}

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Вычитанием натуральных чисел ? и b называется операция, удовлетворяющая условию: ?-b =с тогда и только тогда, когда b+с =?.

Число ?-b называется разностью чисел? и b, число? — уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

В начальном обучении математике определение вычитания, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с появления действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. [11]

С точки зрения количественной теории разностью множеств A и B называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Разностью множеств A и B обозначают A B. Тогда, по определению, имеем:

A B = x Ѓё A и x? B.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств A B называют дополнением множества B до множества A, и обозначают символом BўҐ_A.

Пусть BЎшA. Дополнением множества B до множества A называется множество, содержащее все элементы множества A, которые не принадлежат множеству B. A B = BўҐ_A

Из определения следует, что BўҐ_A= x Ѓё A и x? B.

Как уже было сказано, в случае, когда BЎшA,

Разностью целых неотрицательных чисел ? и b называется целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию b+с =?.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств A, B и C справедливы следующие неравенства:

1) (A B) C = (A C) B;

2) (A U B) C = (A C) U (B C);

3) (A B)? C = (A? C) (B? C);

4) A (B U C) = (A B)? (A C);

5) A (B? C) = (A B) U (A C). [11]

Используя определение разности целых неотрицательных чисел, можно дать теоретика - множественное обоснование правил, связывающих операции вычитания:

1. Правило вычитания числа из суммы:

а) (?+b) — с= (?-b) +b, если?? с

б) (?+b) — с= ?+ (b — с), если b? с

Чтобы вычесть из суммы число, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

2. Правило вычитания суммы из числа:

?- (b + с) = (?-b) — с.

Чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое суммы.

Рассмотрим смысл действий сложения и вычитания с точки зрения измерения величин.

Пусть отрезок x состоит из отрезков y и z, и пусть, как прежде,? = m_{e (x), b= me (y), c= me (z).}

Тогда отрезок z называется разностью отрезков x и y и обозначают z= x — y. Очевидно, что в этом случае мера отрезка z равна разности мер отрезков x и y, т. е. c= m_{e (z) = me (x) — me (y) = ?-b.}

Разностью натуральных чисел ? и b называется натуральное число ?-b, равное мере длины отрезка z, являющегося разностью отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ? и b,

?-b= m_{e (z), где z= x-y; me (x) = ?; me (y) = b}

Необходимо заметить, что о разности отрезков x-y имеет смысл говорить только в том случае, когда отрезок x больше отрезка y. Следовательно, разность натуральных чисел? и b, существует, единственна и является натуральным числом только при соблюдении условия? >b. [1]

1.4 Методический смысл действий сложения и вычитания

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения — основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их единстве проявляется также в том, что на уроках математики нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, «правила» и т. п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: «Как называются числа при сложении?» В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения.