Непрерывный и квантованный объекты управления в пространстве состояний

ГОУ ВПО Уральский государственный горный университет Кафедра автоматики и компьютерных технологий КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине: Цифровые системы управления Группа: АГП — 07

Студент: Бережнов А.В.

Вариант задания: 33

Руководитель: Бабенко А.Г.

Екатеринбург, 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ Лист задания на курсовую работу

1. Векторно-матричное описание исходной непрерывной системы

2. Определение периода квантования

3. Векторно-матричное описание квантованного объекта

4. Синтез цифровой системы управления методом канонической фазовой переменной

5. Проверка синтезированной системы

6. Расчёт установившейся ошибки

7. Расчет дискретной передаточной функции по каналу r (z) -> x₃(z) и получение разностного уравнения

8. Блок—схема алгоритма, реализующая дискретную передаточную функцию на основе полученного разностного уравнения Список литературы

ЗАДАНИЕ

На курсовую работу по дисциплине «Цифровые системы управления»

1. Задана линейная стационарная дискретная система (параметры непрерывных динамических звеньев в таблице 1 Приложения 2).

и .

Рисунок 1. Структурная схема линейной стационарной дискретной системы

2. Составить описание непрерывного объекта управления в пространстве состояний.

3. Выбрать период дискретности и обосновать его выбор.

4. Получить описание квантованного объекта управления в пространстве состояний.

5. Определить параметры матрицы обратной связи G, располагающей собственные значения замкнутой системы точках =0.9, =, = (таблица 2 Приложения 2). Для расчета коэффициентов обратной связи использовать метод канонической формы фазовой переменной. Для синтезированной системы построить ее корни на комплексной z-плоскости и график переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии.

6. При выбранных параметрах матрицы обратной связи G определить установившуюся ошибку при подаче на вход системы сигнала 1,32*1(t) (таблице 3 Приложения 2).

7. Получить дискретную передаточную функцию замкнутой системы управления по каналу, r (z) -> x₃(z) (таблице 4 Приложения 2). По полученной передаточной функции составить разностное уравнение.

8. Составить блок-схему алгоритма или написать программу на любом языке программирования высокого уровня, реализующую дискретную передаточную функцию замкнутой системы управления на основе полученного разностного уравнения (по п. 1.7).

1. Векторно-матричное описание исходной системы

В соответствии с заданием на курсовую работу даны следующие значения передаточных функций:

и .

Необходимо получить векторно-матричное описание исходного непрерывного объекта управления. Для этого составляется система дифференциальных уравнений, описывающих последовательно соединенные звенья, определяются векторы входа, состояния и выхода. Далее система дифференциальных уравнений записывается в векторно-матричной форме:

x = [x₁(t), x₂(t), x₃(t)]^T — вектор состояния,

u = [u (t)] - вектор входных сигналов,

y = [y (t)] - вектор выходных сигналов,

A, B, C, D — матрицы состояния, управления и наблюдения для исходного непрерывного объекта управления.

Векторно-матричное описание получим с помощью средств программной системы MATLAB 6.5, ниже приведена программа:

n1=[6]; d1=[4 0];

n2=[3]; d2=[9 3];

n3=[7]; d3=[5 0];

[A1,B1,C1,D1]=tf2ss (n1,d1);

[A2,B2,C2,D2]=tf2ss (n2,d2);

[A3,B3,C3,D3]=tf2ss (n3,d3);

[A, B, C, D]=series (A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2);

[A, B, C, D]=series (A, B, C, D, A3,B3,C3,D3)

Результатом выполнения программы являются матрицы A, B, C, D.

0 0.3333 0

A = 0 -0.3333 1.5000

0 0 0

B = 0

C = 1.4000 0 0

D = 0

Тогда система дифференциальных уравнений приобретает вид:

2. Определение периода квантования

Методика определения начальных оценок периода квантования применима для статических объектов управления и основывается на использовании их амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), поэтому при выполнении курсовой работы для исходного непрерывного объекта управления подберем коэффициенты обратной связи g_1, g_2, g₃, которые обеспечивают устойчивость непрерывной замкнутой системы. Для начала возьмем все коэффициенты обратной связи равными единице, то есть (g1,g2,g3 = 1).

Сначала нужно определить устойчивость системы, устойчивость системы определяется следующим образом, с помощью MATLAB 6.5:

n1=[6]; d1=[4 0]; %num, den W1

n2=[3]; d2=[9 3]; %num, den W2

n3=[7]; d3=[5 0]; %num, den W3

g1=[1];

g2=[1];

g3=[1];

sys1=tf (n1, d1);

sys2=tf (n2, d2);

sys3=tf (n3, d3);

sys4=tf (g1);

sys5=tf (g2);

sys6=tf (g3);

sys=append (sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6);

Q=[1 -4 -5 -6; 2 1 0 0; 3 2 0 0;4 1 0 0;5 2 0 0;6 3 0 0];

in=1;

out=3;

system=connect (sys, Q, in, out)

step (system)

pause

nyquist (system)

bodemag (system); grid;

Из графика на рисунке 3 видно, что годограф не охватывает точку с координатами -1; j0, следовательно замкнутая система является устойчивой.

Рисунок 2. Переходный процесс в непрерывной замкнутой системе Рисунок 3. Годограф Найквиста для непрерывной замкнутой системы Далее с учетом тех коэффициентов обратной связи, которые мы взяли, строится ЛАЧХ объекта управления, на которой проводится линия на уровне 3…5% от установившегося усиления А ()=(0.03…0.05)А (о) и определяется соответствующая этому усилению минимальная частота квантования _max, и, следовательно, максимальный период квантования

T_max = / _max

Расчет 20lg (0.03А (0)) произведен следующим образом:

По графику на рисунке 4

20lgA (0)=0.227 дБ, следовательно

lgA (0)=0.1 135, тогда А (0)=1.26, а 3% от А (0) составит 0.03

20lg (0.03A (0))= -30.5

— это значение мы откладываем на рисунке 4 от значения 0 дБ.

Рисунок 4. ЛАЧХ непрерывной замкнутой системы управления Соответственно полученному графику определяем период квантования по формуле T_max=р/щ_min.

T_max = 3.14рад / 2.8 рад/сек=1.12 сек В дальнейшем в работе будем использовать период квантования с запасом и возьмем его равным T = 0.2 сек.

Рисунок 5. ЛАЧХ непрерывной замкнутой системы управления (увеличенный участок)

3. Векторно-матричное описание квантованного объекта

Для получения векторно-матричного описания квантованного объекта используем векторно-матричное описание исходного непрерывного объекта управления и период квантования. Вычисление векторно-матричного описания квантованного объекта было произведено средствами пакета MATLAB по следующей программе:

n1=[6]; d1=[4 0];

n2=[3]; d2=[9 3];

n3=[7]; d3=[5 0];

[A1,B1,C1,D1]=tf2ss (n1,d1);

[A2,B2,C2,D2]=tf2ss (n2,d2);

[A3,B3,C3,D3]=tf2ss (n3,d3);

[A, B, C, D] = SERIES (A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2);

[A, B, C, D] = SERIES (A, B, C, D, A3,B3,C3,D3);

[Ad, Bd, Cd, Dd]=c2dm (A, B, C, D,0.2,'zoh')

Результаты:

1.0000 0.0645 0.0098

Ad = 0 0.9355 0.2902

0 0 1.0000

0.0007

Bd = 0.0293

0.2000

Cd = 1.4000 0 0

Dd = 0

где A, B, C, D — матрицы состояния, управления, наблюдения непрерывного объекта

Ad, Bd, Cd, Dd — матрицы состояния, управления, наблюдения квантованного объекта, с учётом 'zoh' - экстраполятора нулевого порядка.

Векторно-матричное описание квантованного объекта записывается в виде:

где x (k), u (k), y (k) — векторы состояния, управления и выхода системы.

непрерывный квантованный цифровой управление

4. Синтез цифровой системы управления методом канонической фазовой переменной

Система не определена в канонической форме, но существует преобразование подобия, преобразующее матрицы Аd и Bd в каноническую форму. Пусть в форме, которая не является канонической, задана линейная цифровая система .

Закон управления запишется в виде u (k) = -Gx (k), где G вычисляется на основе матриц Аdc и Вdc, которые имеют вид: Аdc=МАМ^-1и Вdc=МВ.

Желаемое положение корней на комплексной z-плоскости =0.9, =, =;Ниже приведенная MATLAB-программа, которая преобразует матрицы в каноническую форму, находит коэффициенты характеристического уравнения и матрицу обратных связей:

n1=[6]; d1=[4 0]; %num, den W1

n2=[3]; d2=[9 3]; %num, den W2

n3=[7]; d3=[5 0]; %num, den W3

[A1,B1,C1,D1]=tf2ss (n1,d1);

[A2,B2,C2,D2]=tf2ss (n2,d2);

[A3,B3,C3,D3]=tf2ss (n3,d3);

[A, B, C, D] = SERIES (A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2);

[A, B, C, D] = SERIES (A, B, C, D, A3,B3,C3,D3);

[Ad, Bd, Cd, Dd]=c2dm (A, B, C, D,0.2,'zoh');

Q=[Bd Ad*Bd Ad*Ad*Bd]

M1=[0 0 1]*inv (Q)

M=[M1; M1*Ad; M1*Ad*Ad]

A1=M*Ad*inv (M)

B1=M*Bd;

l=[0.9 0.75+0.15j 0.75−0.15j];

p=poly (l);

g1=p (4)+A1(3,1);

g2=p (3)+A1(3,2);

g3=p (2)+A1(3,3);

G1=[g1 g2 g3]

G=G1*M

Результаты выполнения программы:

0.0007 0.0045 0.0120

Q = 0.0293 0.0855 0.1380

0.2000 0.2000 0.2000

M1 = 258.4259 -17.7134 1.7517

258.4259 -17.7134 1.7517

M = 258.4259 0.0957 -0.8613

258.4259 16.7562 1.6943

0.0000 1.0000 0.0000

A1 = -0.0000 0.0000 1.0000

0.9355 -2.8710 2.9355

G1 = 0.4090 -0.9360 0.5355

G = 2.1966 1.6386 2.4299

Таким образом получим систему в форме канонической фазовой переменной:

.

Характеристическое уравнение системы для канонической формы имеет вид

где — искомая матрица обратной связи.

Запишем характеристическое уравнение в виде

.

Получим характеристическое уравнение для заданных собственных значений системы:

Приравняв соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях уравнений получаем:

— 0,9355= -0,5265; = 0.409

+2.871= 1.935; = -0.936

— 2.9355= -2.4; = 0.5355

Объединив значения, , получим матрицу обратной связи G1

G1 =[0.4090 -0.9360 0.5355]

Подставив матрицу G1 в программу описанную выше вычислим матрицу обратной связи для исходной системы G=G1*M.

В результате получим:

G =[2.1966 1.6386 2.4299]

Cоставляем матрицу управляемости Q, в нашем случае она выражается в виде Q=[] и её численные значения

;

определитель матрицы Q не равен 0, что означает — матрица Q не вырождена, следовательно, система управляема.

5. Проверка синтезированной системы

Первый этап проверки состоит в проверке положения корней характеристического уравнения синтезированной цифровой системы управления на комплексной z-плоскости. Для этого средствами MATLAB получили характеристическое уравнение цифровой системы и построили его корни на z-плоскости.

В тело программы описанной в разделе № 4 добавляются следующие строки:

mnim=[0.0001j 0.0001j 0.0001j]'

zgrid ('new');

plot (eig (Ad-Bd*G)+mnim,'o')

Результатом выполнения программы является график, представленный на рисунке 6.

Рисунок 6. Комплексная z-плоскость с расположенными на ней корнями Как видно из рисунка 6 — положение корней характеристического уравнения синтезированной системы на комплексной плоскости совпадает с заданным.

На рисунке 7 представлена Simulink — модель цифро-непрерывной синтезированной системы для получения переходных характеристик Рисунок 7. Модель непрерывно-цифровой системы управления с рассчитанными коэффициентами обратной связи и периодом квантования Рисунок 8. Переходный процесс в непрерывно-цифровой системе управления по каналу «r-x₃»

Для проверки полученных результатов воспользуемся фунцией Matlab dstep.

Для этого мы получим передаточную функцию системы с рассчитанными коэффициентами обратных связей и по ней найдем векторно-матричное описание.

Matlab-программа имеет вид:

sys1=tf ([6], [4 0]);

sys2=tf ([3], [9 3]);

sys3=tf ([7], [5 0]);

sys4=tf ([2.1966]);

sys5=tf ([1.6386]);

sys6=tf ([2.4299]);

sys=append (sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6);

Q=[1 -4 -5 -6; 2 1 0 0; 3 2 0 0;4 1 0 0;5 2 0 0;6 3 0 0];

in=1;

out=3;

system=connect (sys, Q, in, out)

Передаточная функция имеет вид:

0.7

—————————————————;

s³ + 3.628 s² + 1.918 s + 1.701

Matlab — программа для нахождения векторно-матричного описания квантованной системы и построения переходного процесса имеет вид:

num=[0.7];

den=[1 3.628 1.918 1,701];

[A, B, C, D]=tf2ss (num, den);

[Ad, Bd, Cd, Dd]=c2dm (A, B, C, D,0.2,'zoh')

dstep (Ad, Bd, Cd, Dd);

Результаты выполнения программы:

0.4586 -0.2961 -0.2387

Ad = 0.1403 0.9677 -0.0269

0.0158 0.1978 0.9981

0.1403

Bd = 0.0158

0.0011

Cd = 0 0 0.7000

Dd = 0

Рисунок 9. Переходный процесс в непрерывно-цифровой системе управления по каналу «r-x₃», полученный при использовании MATLAB-оператора: dstep (Ad, Bd, Cd, Dd)

Для анализа устойчивости полученной системы используется следующий MATLAB-оператор: dbode (Ad, Bd, Cd, Dd, 0.2)

Рисунок 9. ЛАФЧХ синтезированной системы управления Из графика на рисунке 9 видно, что система является устойчивой, так как при частоте -180^о, логарифмическая амплитудная характеристика будет отрицательной. И если мы проверим систему по критерию устойчивости Найквиста, используя оператор: dnyquist (Ad, Bd, Cd, Dd, 0.2), то тоже видим что система устойчива, т. к. годограф не охватывает точку с координатами (-1; j0).

Рисунок 10. Годограф Найквиста

6. Расчёт установившейся ошибки

Расчет установившейся ошибки мы проводим по каналу «r (t)->e (t)» для входного сигнала равного 1.32*1(t).

Согласно расчет установившейся ошибки можно провести по выражению:

где GH (z) — передаточная функция разомкнутого контура системы управления.

Для вычисления передаточной функции разомкнутого контура системы воспольземся средствами Matlab.

Matlab-программа имеет вид:

sys1=tf ([6], [4 0]);

sys2=tf ([3], [9 3]);

sys3=tf ([7], [5 0]);

sys4=tf ([2.1966]);

sys5=tf ([1.6386]);

sys6=tf ([2.4299]);

sys7=tf ([1]);

sys=append (sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6,sys7);

Q=[1 7 0 0; 2 1 0 0; 3 2 0 0;4 1 0 0;5 2 0 0;6 3 0 0;7 4 5 6];

in=7;

out=7;

system=connect (sys, Q, in, out)

Результат выполнения программы:

s³ + 0.3333 s²

————————————————;

s³ — 2.962 s² — 1.918 s — 1.701

Далее по полученной передаточной функции, находим передаточную функцию для дискретной системы:

num=[1 0.3333 0 0];

den=[1 -2.962 -1.918 -1.701];

[num, den]=c2dm (num, den, 0.2,'zoh')

printsys (num, den,'z')

Получаем дискретную передаточную функцию вида:

z³ — 2.9607 z² + 2.913 z — 0.9523

—————————————————-;

z³ — 3.9221 z² + 4.7117 z — 1.8083

Далее находим установившуюся ошибку:

Для входного сигнала равного 1,32(t) ошибка равна 1.32.

7. Расчет дискретной передаточной функции по каналу «r(z) — x₃(z)» и получение разностного уравнения

Произведем расчёт дискретной передаточной функции для канала «r (z) — x₃(z)» с помощью пакета MATLAB.

sys1=tf ([6], [4 0]);

sys2=tf ([3], [9 3]);

sys3=tf ([7], [5 0]);

sys4=tf ([2.1966]);

sys5=tf ([1.6386]);

sys6=tf ([2.4299]);

sys=append (sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6);

Q=[1 4 5 6; 2 1 0 0; 3 2 0 0;4 1 0 0;5 2 0 0;6 3 0 0];

in=1;

out=3;

system=connect (sys, Q, in, out)

Результат выполнения:

Transfer function:

0.7

————————————————;

s³ — 2.962 s² — 1.918 s — 1.701

num=[0.7];

den=[1 -2.962 -1.918 -1.701];

[num, den]=c2dm (num, den, 0.2,'zoh')

printsys (num, den,'z')

Результат выполнения второй части — передаточная функция дискретной системы по заданному каналу:

0.10 942 z² + 0.51 256 z + 0.14 699

———————————————————;

z³ — 3.9221 z² + 4.7117 z — 1.8083

Для того, чтобы получить характеристическое уравнение дискретной передаточной функции запишем её в виде:

Перепишем последнее выражение с использованием оператора сдвига во времени:

Получим разностное уравнение, которое связывает выходной и входной сигнал:

8. Блок схема алгоритма реализующая дискретную передаточную функцию на основе полученного разностного уравнения

Рисунок 11. Блок-схема алгоритма моделирования цифровой системы моделирования

1. Бабенко А. Г. Цифровые системы управления. Курс лекций. — Екатеринбург: Изд. УГГГА, 2003.

2. Бабенко А. Г. Методические указания по выполнению курсовой работы. Екатеринбург: Изд. УГГГА, 2003.